Bernoulli Ungleichung, Beweis per VI

02.05.2015, 15:10

forbin

Bernoulli Ungleichung, Beweis per VI

Hallo Leute,

ich habe das Prinzip der vollständigen Induktion verstanden, worum es mr geht, ist folgendes:
Den Beweis der Bernoulli Ungleichung sehe ich überall folgendermaßen:
$\begin{eqnarray*} (1 + x)^{(n+1)}\\ = (1 + x)^n \cdot (1 + x)\\ \geq (1 + n\cdot x) \cdot (1 + x)\\ = 1 + x + nx + nx^2\\ = 1 + (n + 1)x + nx^2\\ \geq 1 + (n + 1)x \end{eqnarray*}$
Meine Frage:
Warum kann ich $\begin{eqnarray*} nx^2 \end{eqnarray*}$ einfach weglassen?
Die Begründung ist ja, dass es soweiso größer ist als null.
Aber ich müsste doch erstmal zeigen, dass die gesamte rechte Seite eben nicht größer wird als die Linke. Aber vielleicht wird die das ja mit $\begin{eqnarray*} nx^2? \end{eqnarray*}$

02.05.2015, 15:31

Math1986

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RE: Bernoulli Ungleichung, Beweis per VI
Ich verstehe die frage nicht so ganz verwirrt

Weil $\begin{align*} nx^2\geq 0 \end{align*}$ ist auch $\begin{align*} \left(1+x\right)^{n+1}=\ldots\geq\ldots=1+\left(n+1\right)x+nx^2\geq 1+\left(n+1\right)x \end{align*}$
Und damit ergibt sich eben auch $\begin{align*} \left(1+x\right)^{n+1}\geq 1+\left(n+1\right)x \end{align*}$ , was ja zu zeigen war.

02.05.2015, 18:34

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RE: Bernoulli Ungleichung, Beweis per VI

Zitat:

Original von forbin
Warum kann ich $\begin{eqnarray*} nx^2 \end{eqnarray*}$ einfach weglassen?
Die Begründung ist ja, dass es soweiso größer ist als null.
Aber ich müsste doch erstmal zeigen, dass die gesamte rechte Seite eben nicht größer wird als die Linke. Aber vielleicht wird die das ja mit $\begin{eqnarray*} nx^2? \end{eqnarray*}$

Du hast geschrieben, Du haettest das Prinzip der vollstaendigen Induktion verstanden. Wohl doch nicht so ganz. Bis einschliesslich der vorletzten Zeile stimmt das so per Induktionsvoraussetzung. Da ist nichts obendrauf extra zu beweisen. Der letzte Schritt ist dann nur noch eine triviale Abschaetzung, um wieder auf die gewuenschte Form zu kommen.

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