Endliches Erzeugendensystem Untermagma

02.05.2015, 14:59	Share	Auf diesen Beitrag antworten »
Endliches Erzeugendensystem Untermagma Meine Frage: Hallo, ich habe ein ziemliches Problem mit folgender Frage: Hat jedes Untermagma von $\begin{eqnarray} (\mathbb Z, -) \end{eqnarray}$ ein endliches Erzeugendensystem? Meine Ideen: Lieder komme ich bei dieser Aufgabe nicht mal auf eine Idee für einen Ansatz, für eine kleine Starthilfe wäre ich daher umso dankbarer. Folgende Definition ist bekannt: Sei (M,) ein Magma. Für eine Teilmenge $\begin{eqnarray} X \subseteq M \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} <X>_{M} =\bigcap_{X \subseteq U \subseteq M} U \end{eqnarray}$ der Durchschnitt aller Untermagmen U von M, die X als Teilmenge enthalten. Das ist das von X erzeugte Untermagma von M. M heißt endlich erzeugt, wenn eine endliche Menge X existiert mit $\begin{eqnarray} M = <X>_M \end{eqnarray}$ . Natürlich ist in diesem Fall $\begin{eqnarray} M = \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Ich habe aber, wie gesagt, leider wirklich keine Ahnung, wie man bei dieser Aufgabe ansetzen muss. Kann mir jemand damit helfen? Vielen Dank im Voraus.
02.05.2015, 16:44	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Muss man das wirklich so kompliziert machen ? Kann man das nicht besser in der Gruppentheorie oder Ringtheorie behandeln ?
03.05.2015, 00:13	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endliches Erzeugendensystem Untermagma Du müsstest zeigen, dass die Untermagmen gerade die Ideale in $\begin{align} \mathbb Z \end{align}$ (als Ring aufgefasst) sind. Alle Ideale in $\begin{align} \mathbb Z \end{align}$ (als Ring) werden endlich erzeugt. Insbesondere ist $\begin{align} \mathbb Z \end{align}$ Hauptidealring, alle Ideale können also von nur einem Element erzeugt werden. Man kann zeigen, dass für ein Untermagma von $\begin{align} (\mathbb Z,-) \end{align}$ gilt: $\begin{align} (\mathbb Z,-) \supseteq \langle X\rangle_{ (\mathbb Z,-) }= \langle a\rangle=(a)\subseteq (\mathbb Z,+,) \end{align}$ Alle Untermagmen können also von nur einem Element $\begin{align} a \end{align}$ erzeugt werden, demselben Element, das das elementgleiche Ideal erzeugt. Sei $\begin{align} X\subseteq (\mathbb Z,-) \end{align}$ eine unendliche Teilmenge, dann ist $\begin{align} \langle X\rangle_{ (\mathbb Z,-) }=\langle \operatorname{ggT}\{X\}\rangle_{ (\mathbb Z,-) } \end{align}$ und das ist gerade das kleinste Ideal $\begin{align} U\subseteq (\mathbb Z,+,) \end{align}$ mit $\begin{align} X\subseteq U \end{align}$ .
03.05.2015, 14:12	Share	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf einen Ansatz mit Idealen wäre ich wirklich nicht gekommen. Ich glaube, da muss ich mich wohl vorher nochmal ein bisschen in die Ringtheorie einlesen, um im Beweis weiterzukommen. Aber schon mal vielen Dank für die Hilfe.

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