Separierbare DGL

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02.05.2015, 17:11	Keq	Auf diesen Beitrag antworten »
Separierbare DGL Meine Frage: Folgende Aufgabe: Lösen Sie die folgenden Gleichungen (in expliziter Form y=y(x), wenn möglich) und lösen Sie die entsprechenden Anfangswertprobleme, falls gegeben: a) $\begin{eqnarray} y'= 3\sqrt[3]{y^{2} } , y(2)=0 \end{eqnarray}$ Ich hab mir das ganze dann erstmal ausführlich hingeschrieben, so wie ich denke dass es richtig ist also : $\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx} =3\sqrt[3]{y(x)^{2} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dy =3\sqrt[3]{y(x)^{2} }dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y(x) =3\sqrt[3]{y(x)^{2} }x+c \end{eqnarray}$ Ist das so weit richtig? Meine Ideen: Um weiter zurechnen müsste ich dann jetzt einfach das y(x) auf eine seite bekommen und dann das c bestimmen über y(2)=0??
02.05.2015, 18:13	Kequazo	Auf diesen Beitrag antworten »
ok leider schaffe ich es nicht das y(x) auf eine zeit zus chaffen für die explizite Form wäre die Lösung $\begin{eqnarray} y(x)-3\sqrt[3]{y(x)^{2} }x -c=0 \end{eqnarray*}$ richtig in implizieter Form? also ist das schon alles? Ich weiß allerdings nicht wie ich dann das AWP lösen soll
02.05.2015, 18:19	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
Separieren heisst, die Gleichung so umzustellen, dass auf der einen Seite nur x und auf der anderen Seite nur y vorkommt. Dann wird integriert. Dein bisheriges Ergebnis ist Nonsens.
02.05.2015, 18:29	Kequazo	Auf diesen Beitrag antworten »
also $\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx} = 3y^{\frac{2}{3} } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{dy}{y^{\frac{2}{3} } } =3dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! y^{\frac{-2}{3} } \, dy =3x+c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3y^{\frac{1}{3} } =3x+c \end{eqnarray*}$ richtig soweit?
02.05.2015, 18:57	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist soweit richtig und fuehrt zu Loesungen. Aber nicht zu allen.
02.05.2015, 19:00	Kequazo	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, wenn ich weiter mache komme ich auf: $\begin{eqnarray} y(x)=(x+\frac{c}{3} )^{3} \end{eqnarray}$ und c muss -6 seinw egen dem anfangswert, aber wieso komme ich so nicht auf alle Lösungen?
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02.05.2015, 19:22	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} y\equiv0 \end{eqnarray}$ ist z.B. auch eine Loesung. Das hier geht so aehnlich wie das Standardbeispiel fuer Nicht-Eindeutigkeit $\begin{eqnarray} y'=\sqrt{\|y\|} \end{eqnarray}$ .
02.05.2015, 19:38	Kequazo	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, aber wie schreibe ich das? also als allgemeine lösung müsste ich dann nicht einfach noch +0 hinter meine Lösunge schreiben?
02.05.2015, 19:52	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
Schau Dir das Standardbeispiel an. Ist wahrscheinlich in jedem Buch drin und wurde auch vor ein paar Tagen hier angekaut. Tipp: Die verschiedenen Loesungen sind nicht zu addieren (das gibt ja fuer nichtlineare Gleichungen auch keine Loesungen), sondern mit waagrechter Tangente bei y=0 zusammenzustueckeln.
02.05.2015, 21:08	Kequazo	Auf diesen Beitrag antworten »
Also in meinem Buch ist das Standardbeispiel leider nicht drin. aber wenn ichs richtig verstanden habe kann ich es entweder angeben als $\begin{eqnarray} y(x)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y(x)= (x-2)^{3} \end{eqnarray}$ oder als $\begin{eqnarray} y(x)=0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x=2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y(x)= (x-2)^{3} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\neq 2 \end{eqnarray}$ (mit dieser geschweiften Klammer, von der ich nichtw eiß wie man sie mit dem Formeleditor hinbekommt)
02.05.2015, 22:20	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
Noe. Da da ist z.B. auch eine Loesung Deines AWPs: $\begin{eqnarray} y(x)=\begin{cases} 0 & \text{f\"ur $x<2$,} \\ (x-2)^3 & \text{f\"ur $x\ge2$}. \end{cases} \end{eqnarray}$ Nach dem Schema kann man noch viel mehr Loesungen basteln, auch welche aus drei Teilen und der Verzweigungspunkt muss auch nicht bei x=2 liegen.
02.05.2015, 22:30	Kequazo	Auf diesen Beitrag antworten »
achso ja stimmt, also alle kombinationen daraus die das AWP lösen. danke dann geb ichs ja besser als fundamentalsystem an wie geht übrigens die geschweifte klammer für diese stückweise definierten funktionen?
02.05.2015, 23:15	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bist immer noch auf einem ganz falschen Trip: Fundamentalsysteme haben nur lineare DGLen, nichtlineare haben sowas nicht, weil Linearkombinationen von Loesungen keine Loesungen mehr sind. Es geht hier also nicht darum, aus vorhandenen Loesungen durch Superposition neue zu gewinnen, was gar nicht geht, sondern man kombiniert vielmehr verschiedene Loesungen abschnittsweise zu einer neuen. Mal Dir doch mal ein Bild!
02.05.2015, 23:24	Kequazo	Auf diesen Beitrag antworten »
wollte auch keine Lösung durch Superposition bekommen. Ich kannte den Begriff Fundamentalsystem nur als Begriff um die Menge der Lösungen zu beschreiben, wusste nicht das daraus direkt der Superposition der einzelnen Lösungen folgt. Durch diese abschnittsweiße kombinierten Funktionen gibt es ja unendlich viele Lösungen. Meine Frage war wie ich diese alle aufschreibe! Dachte das könnte ich einfach indem ich die 2 Lösungen nenne die ich gefunden habe. Allerdings weiß ich nicht wie schreibe das auch abschnitssweiße kombinationen der beiden Lösungen sind
02.05.2015, 23:52	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst sie natuerlich nicht beliebig aneinanderstueckeln. An den Nahtpunkten muss die Funktion differenzierbar sein und der DGL genuegen. Im Bsp. kann man also nur auf der x-Achse (y=0) die Loesungen wechseln. Ausserdem soll ja noch die Anfangsbedingung y(2)=0 eingehalten werden. Ueber alle Moeglichkeiten dazu musst Du jetzt einen Ueberblick gewinnen. Das geht am besten mit einer Skizze. Aufschreiben kannst Du das dann offensichtlich wie gezeigt mit geschweifter Klammer und Fallunterscheidung. Viel Spass!
03.05.2015, 00:07	Kequazo	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, also wenn ich die beide Funktionen $\begin{eqnarray} y(x)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y(x)=(x-2)^{3} \end{eqnarray}$ für x<2 zusammennähe würde wären sie an der Nahtstelle offensichtlich nicht differenzierbar sein, sie würden nicht einmal stetig sein, wenn ich das richtig sehe. Das gleiche gilt für x>2 Folglich is 2 die einzige Mögliche nahtstelle. Also habe ich als Lösung die beiden obigen plus die Lösung, die du bereits als Beispiel angegeben hattest.
03.05.2015, 00:23	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
Die allgemeine Loesung nach Separation war aber $\begin{eqnarray} y=(x-C)^3 \end{eqnarray}$ . Wenn die Anfangsbedingung anderweitig erfuellt wird, muss man hier nicht mehr $\begin{eqnarray} C=2 \end{eqnarray}$ haben. Deshalb ist z.B. auch das eine Loesung des AWPs: $\begin{eqnarray} y(x)=\begin{cases} (x+17)^3 & \text{f\"ur $x\le -17$},\\ 0 & \text{f\"ur $x>-17$}. \end{cases} \end{eqnarray}$ So. Mehr faellt mir nun wirklich nicht mehr ein.
03.05.2015, 00:35	Kequazo	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ist mir auch eben eingefallen, dass in der gleichung mit c=-2 die anfangsbedingung bereits erfüllt war.
03.05.2015, 00:55	Kequazo	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab die allgemeine Lösung jetzt mal so formuliert $\begin{eqnarray} y(x)=<br /> \begin{cases} (x+a)^{3}, x<-a \\ (x-b)^{3}, x\geq b \\ 0 , -a<x<b\end{cases} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a,b\in \mathbb R ^{+} ; b\geq 2 \end{eqnarray}$ das müsste denke ich alle Lösungen enthalten
03.05.2015, 01:13	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut! Im Prinzip hast Du's. Aber ein bisschen Feinarbeit ist noch noetig. Der Wechsel von der negativen kubischen Parabel zu y=0 kann bis x=2 rausgeschoben werden. Ueberhaupt muss man fuer grosse/kleine x nicht auf die Parabel wechseln, man kann es auch ganz sein lassen und bei y=0 bleiben.
03.05.2015, 01:29	Kequazo	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, die funktion lass ich mal so stehen ich korrigiere mal die Nebenbedingunge zu $\begin{eqnarray} a\geq - 2 ; b\geq 2 \end{eqnarray}$ die andere sache, dass ich für große x nicht mehr auf die Parabel zu wechslen brauche, muss ich das noch mal betrachten oder is das in dieser Lösung schon inbegriffen für $\begin{eqnarray} a,b ->\infty \end{eqnarray}$ ?
03.05.2015, 02:50	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst nicht eine "Superformel" zusammenbasteln, die wahrscheinlich eh keiner (Dich inbegriffen) mehr versteht, Du kannst auch hier mehrere Faelle unterscheiden und dann fuer jeden eine eigene (einfache) Formel angeben. Grenzwertuebergaenge in Definitionen sind nicht ueblich. Wenn Du willst, dass $\begin{eqnarray} \infty \end{eqnarray}$ bei Intervallgrenzen auch erlaubt sein soll, dann musst Du das dazusagen.
03.05.2015, 04:02	Kequazo	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, dann kann ich das ganze in 3 Fälle unterteilen. Damit müsste dann alles abgedeckt sein vielen Dank

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