kumulantenerzeugende Funktion - delta Momente

03.05.2015, 18:18	Luno333	Auf diesen Beitrag antworten »
kumulantenerzeugende Funktion - delta Momente Meine Frage: Hallo liebe Forumsmitglieder, ich habe folgende Frage. Wer sich etwas besser auskennt weiss ja, dass man die kumulantenerzeugende Funktion in einem Bereich um die 0 anhand der Taylorentwicklung darstellen kann. Hierbei ergibt sich die Entwicklung unter anderem anhand der Kumulanten erster, zweiter, dritter ... Ordnung. Die kumulantenerzeugene Funktion ist definiert wie folgt: $\begin{eqnarray} \Phi(u):=\log\left\{\mathbb{E}\left[\exp\left(uX\right) \right] \right\} \end{eqnarray}$ Wobei $\begin{eqnarray} u \in \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ eine beliebige reelwertige Zufallsvariable. Meine Frage ist nun: Ich weiss von meiner Zufallsvariablen $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ , dass der Erwartungswert nicht existiert, aber für ein $\begin{eqnarray} 1> \delta > 0 \end{eqnarray}$ das "delta"-Moment existiert. Also $\begin{eqnarray} \mathbb{E}\left[X^{\delta}\right]<\infty \end{eqnarray}$ Nun möchte ich zeigen, dass in diesem Fall $\begin{eqnarray} \|\Phi(u)\|\leq K u^{\delta} \end{eqnarray}$ gilt, wobei $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ eine Konstante ist. Dies ist zum Bespiel dann möglich, wenn mir sowas wie die Taylor Entwicklung zur Verfügung stünde. Mit der Entwicklung zwischen $\begin{eqnarray} \left[0,1\right] \end{eqnarray}$ Habt ihr eine Idee - vielleicht eine die ganz anders funktioniert als meine Überlegung. MFG Luno Meine Ideen: siehe oben

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