Winkel im gleichseitigen Dreieck

04.05.2015, 19:04	lola1211	Auf diesen Beitrag antworten »
Winkel im gleichseitigen Dreieck Meine Frage: Zeigen sie elementargeometrisch und vektoriell: In einem gleichseitigen Dreieck betragen die Winkelweiten der Innenwinkel jeweils 60°. Meine Ideen: Wie muss ich das jetzt berechnen, mit cos , sin?
04.05.2015, 20:00	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz klar ist nicht, was erlaubt ist, um die Aufgabenstellung zu erfüllen. Unter "elementargeometrisch" würde ich verstehen, Symmetrie- und/oder Kongruenzbetrachtungen am gleichseitigen Dreieck durchzuführen. Also nichts mit Sinus und Konsorten. Bei "vektoriell" würde ich mir Vektoren $\begin{align} \vec{u}, \vec{v} \end{align}$ definieren, die von einer gemeinsamen Ecke des gleichseitigen Dreiecks auf die anderen Ecken zeigen. Der Vektor $\begin{align} \vec{u} - \vec{v} \end{align}$ führt dann an der dritten Seite entlang. Mach dir eine Skizze. Wegen der Gleichseitigkeit gilt: $\begin{align} \left\| \vec{u} \right\| = \left\| \vec{v} \right\| = \left\| \vec{u} - \vec{v} \right\| \end{align}$ Gleichbedeutend damit ist, wenn man die nichtnegativen Größen quadriert: $\begin{align} \vec{u}^{\, 2} = \vec{v}^{\, 2} = \left( \vec{u} - \vec{v} \right)^2 \end{align}$ Die Quadrate sind im Sinne des Standardskalarprodukts aufzufassen. Jetzt versuche, dies für die Cosinusformel $\begin{align} \cos \varphi = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\left\| \vec{u} \right\| \, \cdot \, \left\| \vec{v} \right\|} \end{align}$ worin $\begin{align} \varphi \end{align}$ der Winkel zwischen $\begin{align} \vec{u} \end{align}$ und $\begin{align} \vec{v} \end{align}$ ist, zu nutzen. Dann noch das Entsprechende für einen weiteren Dreieckswinkel.
04.05.2015, 20:01	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Elementargeometrisch könntest du dir (nach Hilbert) das Axiom der Kongruenz hernehmen und damit beweisen, dass in einem gleichschenkligen Dreieck die Basiswinkel gleich groß sind. Dabei sollte dir der Kongruenzsatz Ssw helfen. Wenn du dieses bewiesen hast, ist der Beweis für das gleichseitige Dreieck nicht mehr schwer (sofern du ohne Beweis voraussetzen darfst, dass die Winkelsumme im Dreieck 180° beträgt). edit: zu spät, aber scheinbar verstehen ich und Leopold das Wort "elementargeometrisch" identisch. edit2: Link eingefügt.

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