normale aber nicht metrisierbare Topologie

04.05.2015, 21:03	Cilli	Auf diesen Beitrag antworten »
normale aber nicht metrisierbare Topologie Hallo Zusammen, ich sitze an folgender Aufgabe des Fachbereiches "Topologie": Es sei $\begin{eqnarray} L_n\subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} L_n:=\left \{ (t,\frac{t}{n}s)\in \mathbb{R}^2 \| t\in[0;1] \right \} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} L_\infty :=\left \{ (t,0)\in \mathbb{R}^2 \| t\in[0;1] \right \} \end{eqnarray}$ . Der Raum X sei definiert als $\begin{eqnarray} X=L_\infty \cup \bigcup_{n\in \mathbb{N}} L_n \end{eqnarray}$ . Eine Teilmenge $\begin{eqnarray} O \subset X \end{eqnarray}$ sei offen, wenn $\begin{eqnarray} O\cap L_n \end{eqnarray}$ offen ist für alle $\begin{eqnarray} n\leq \infty \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} L_n \end{eqnarray}$ die Teilraum-Topologie trägt. Zeigen Sie, dass so eine normale Topologie auf $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ definiert wird, die sich nicht metrisieren lässt. Ich habe den Hinweis: Finden Sie für eine gegebene Metrik auf $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ eine Folge $\begin{eqnarray} \left ( x_n \right ) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_n\in L_n \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} x_n \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} (0,0) \end{eqnarray}$ konvergiert bezüglich der Metrik jedoch n icht bezüglich der oben definierten Topologie auf X. Leider fehlen mir sämtliche Ansätze und wäre sehr dankbar für Hilfestellungen bzw. den Namen unter dem dieser Topologische Raum in der Literatur zu finden ist. Liebe Grüße, Chilli

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