Hesse-Matrix Sattelpunkte |
| 05.05.2015, 02:18 | John013 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Hesse-Matrix Sattelpunkte Hallo! 
Ich hätte nur kurz eine Frage. Gegeben ist eine Funktion f(x,y)=(2y+1)*(y-sin(x)) Ich hab das Beispiel ansich schon gelöst, allerdings versteh ich eins nicht. Und zwar: Ich hab bei der Hessematrix für einen stationären Punkt folgendes herausbekommen: (ich hoffe es ist verständlich wenn ichs so schreib.. das soll eine Matrix sein) 0 wurzel(3) wurzel(3) 4 bzw für einen anderen punkt 0 -wurzel(3) -wurzel(3) 4 So.. das eigentliche Problem ist folgendes: die Determinante der beiden Matrizen ergibt -3. Es kann sich aber nur um Extremstellen handeln, wenn diese Determinante >0 ist. Ich hab diese Bedingung allerdings nicht kontrolliert (ich habs vergessen :x) und einfach die Eigenwerte berechnet. Dabei kamen ein positiver und ein negativer Eigenwert heraus, was dann ja "indefinit" ist, bzw anscheinend nennt man den punkt dann "Sattelpunkt". Meine Frage ist also: Wenn ich sehe dass die Hesse-Matrix eine Determinante von <0 hat, kann ich dann sofort sagen "indefinit!" und "an dem punkt ist ein sattelpunkt"? Oder was sagt es aus, wenn die Determinante <0 ist? Ist an dem Punkt dann weder eine Extremstelle noch ein Sattelpunkt? Tut mir Leid, vermutlich ist das eine recht dämliche Frage... es wär aber trotzdem toll, wenns mir jemand erklären könnte!
Schöne Grüße! Meine Ideen: . |
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| 05.05.2015, 09:09 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Es kommt nur auf die Eigenwerte der Hessematrix an. Bekanntlich kann man das Koordinatensystem stets so drehen, dass die Hessematrix diagonal wird, wobei die Diagionalelemente gerade die Eigenwerte sind, also Wenn alle Eigenwerte positiv/negativ sind, hat man ein Minimum/Maximum. Haben die Eigenwerte verschiedene Vorzeichen (ohne zu verschwinden), hat man einen Sattelpunkt. Wenn mindestens ein Eigenwert verschwindet, hat man kein Extremum und keinen Sattelpunkt. Die Determinante det(H) allein, sagt noch nichts über die Art des Extremums. Wenn z.B. im 2-dimensionalen Raum beide Eigenwerte negativ/positiv sind, ist die Determinante in beiden Fallen positiv. Man kann nur sagen, dass im Falle det(H)=0 kein Extremum vorliegt, weil dann mindestens ein Eigenwert verschwindet. |
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| 05.05.2015, 20:06 | John013 | Auf diesen Beitrag antworten » |
hmm, alles klar.. ich denke ich habs verstanden. Vielen Dank!
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