x^2=2y^2 Stellt alle natürliche Zahlen für x,y ganze Zahl dar? |
| 05.05.2015, 02:38 | Probierfreudig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| x^2=2y^2 Stellt alle natürliche Zahlen für x,y ganze Zahl dar? x,y\in \mathbb Z Kann man mit dieser Bedingung alle natürliche Zahlen darstellen? Meine Ideen: Ich behaupte nein. Ich hab bisher noch keine x,y gefunden die mir die Zahl 3 darstellen. Ich hab in geogebra mal die Kegelschnittgleichung eingegeben und immer auf der x bzw. y achse Geraden bei alle ganzen Zahlen bis 20 eingezeichnung und nie einen Schnittpunkt gefunden. Ich hab leider nur keine Ahnung, wie ich das zeigen kann. Hab die Aufgabe bei einem Freund gesehen und hat mich interessiert, ich selbst hab noch keine Zahlentheorie gehört, aber vielleicht kann man das auch ohne hilfe von Zahlentheorie lösen 
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| 05.05.2015, 08:52 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das ist keine Bedingung, sondern eine Gleichung, und die hat nur die eine Lösung . 
Nach dem, was du unter "Meine Ideen" dann angefügt hast, lässt sich erahnen, dass du wohl tatsächlich eher meinst, ob man mit der Differenz alle natürlichen Zahlen darstellen kann? Da hast du Recht, das geht nicht in jedem Fall, z.B. nicht in deinem Fall . Zeigen lässt sich dies z.B. modulo 3: Durch Auswertung aller Kombinationen kommt man zum Schluss, dass notwendig ist. Damit muss dann aber sogar durch 9 teilbar sein, Widerspruch. Mit dieser Begründung hat man nicht nur n=3 eliminiert, sondern sämtliche durch 3, aber nicht durch 9 teilbaren natürlichen Zahlen, d.h. 3, 6, 12, 15, 21, 24, ...
Viel Spaß beim Suchen. 
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