Grenzwerte bestimmen

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05.05.2015, 08:59	af90	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwerte bestimmen Guten Morgen! Ich habe folgende Aufgabe bekommen und weiß leider nicht, wie ich die anpacken muss. Aufgabe: Bestimmen Sie die (möglicherweise uneigentlichen) Grenzwerte $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \pm \infty } f(x) \end{eqnarray}$ für die nachstehenden Funktionen: a) $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{e^{-5x}-e^{5x} }{e^{5x}+e^{-6x} } \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} f(x)= \frac{x\cdot \| x\| }{1+ x^{2} } \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} f(x)= ln\left(\frac{\| x\| }{1+x^{2} } \right) \end{eqnarray}$ d) $\begin{eqnarray} f(x)= e^{32221x}\cdot e^{-10^{-23}x^{2} } \end{eqnarray}$ Hat jemand Rat für mich?
06.05.2015, 01:25	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst zu a) Für $\begin{eqnarray} x \to +\infty \end{eqnarray}$ : Dividiere Zähler und Nenner des Bruches durch $\begin{eqnarray} e^{5x} \end{eqnarray}$ Wohin streben dann alle Terme mit negativen Exponenten? Für $\begin{eqnarray} x \to -\infty \end{eqnarray}$ : Ändere alle Vorzeichen in den Exponenten, damit wird der Grenzwert auf $\begin{eqnarray} x \to +\infty \end{eqnarray}$ zurückgeführt. Dividiere dann Zähler und Nenner des Bruches wieder entsprechend wie im ersten Fall (also durch $\begin{eqnarray} e^{6x} \end{eqnarray}$ ) mY+
06.05.2015, 16:13	af90	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe das mit dem dividieren nicht ganz, aber ich probiere es einfach mal: Aufgabe a) fangen wir mit $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \end{eqnarray}$ an. Zähler: e^-5x wird 0 und -e^5x wird ebenfalls 0. Damit ist der Zähler 0 Nenner: e^5x wird unendlich groß und -e^6x wird 0. Also geht die Funktion für $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty } \end{eqnarray}$ gegen 0. nun $\begin{eqnarray} \lim_{x\to - \infty } \end{eqnarray}$ : Zähler: e^-5x wird unendlich groß, -e^5x wird 0 Nenner: e^5x wird 0, e^-6x wird unendlich groß somit würde man "unendlich durch unendlich" teilen und daher geht die Funktion für $\begin{eqnarray} \lim_{x\to - \infty } \end{eqnarray}$ gegen 1.
06.05.2015, 21:49	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist falsch, so wurde der Bruch ja nicht gekürzt. Ausserdem ist $\begin{eqnarray} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray}$ NICHT gleich 1, es ist ebenso eine unbestimmte Form. Du solltest Zähler UND Nenner dividieren: $\begin{eqnarray} x \to + \infty: \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{e^{-5x}-e^{5x}}{e^{5x}+e^{-6x}} = \frac{e^{-10x}-1}{1+e^{-11x}} \end{eqnarray}$ Analog gehe dann im anderen Fall vor. mY+
10.05.2015, 11:53	af90	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldige bitte, dass meine Antwort erst jetzt so spät folgt. Ich habe mich mit der a) nochmal auseinander gesetzt und folgende Ergebnisse: für $\begin{eqnarray} \lim_{x\to \infty } f(x) = -1 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \lim_{x \to - \infty } f(x)= 0 \end{eqnarray}$ Stimmt das so? zu b) und c) habe ich noch keine Idee, aber dafür eine für Aufgabe d) Ich habe zunächst $\begin{eqnarray} f(x)=e^{32221x }- e^{-10^{-23}x^{2} } \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} f(x)=e^{32221x-10^{-23}x^{2} } \end{eqnarray}$ zusammengefasst und mir dann erlaubt nur den Exponenten $\begin{eqnarray} 32221x-10^{-23}x^{2} \end{eqnarray}$ anzuschauen. Ich komme zu dem Ergebnis, dass: für $\begin{eqnarray} \lim_{x\to \infty } f(x) = \infty \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \lim_{x \to - \infty } f(x)= - \infty \end{eqnarray}$ PS: Nochmals Entschuldigung für die späte Antwort!
10.05.2015, 17:52	af90	Auf diesen Beitrag antworten »
Niemand da, der mir helfen kann?
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11.05.2015, 15:56	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Bevor du mit deinen Tränen noch das ganze Forum flutest: Die Ergebnisse von a) stimmen. Bei d) hast du wohl das Mal ausversehen zu einem Minus gemacht (?), wenigstens war es in der Aufgabenstellung noch nicht da -- und es ändert hier massiv das Ergebnis. Und ja, nur den Exponenten anschauen ist eine gute Idee, die Frage ist also was der Exponent für $\begin{eqnarray} x \to \pm \infty \end{eqnarray}$ macht.
11.05.2015, 17:04	af90	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das Malzeichen war ein Versehen. Ich habe jetzt einfach mal für die x-Werte 1.000.000 und -1.000.000 eingesetzt und dann komme ich auf das Ergebnis was ich geschrieben habe. Oder tippe ich das Falsch in Taschenrechner ein??
11.05.2015, 17:29	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Zahlen sind dafür viel zu klein. Du müsstest etwa 20 Nullen mehr einsetzen damit du siehst wie es sich verhält. Daher benutzt man für solche Sachen eben nicht Taschenrechner. Bei Polynomen ist immer nur der Summand mit dem höchsten Exponenten interessant, hier $\begin{eqnarray} -10^{-23} x^2 \end{eqnarray}$ . Und man weiß, dass $\begin{eqnarray} x^2 \to \infty \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} x \to \infty \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} -10^{-23}x^2 \to - \infty \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x \to \infty \end{eqnarray}$ . Wie sieht es aus, wenn $\begin{eqnarray} x\to -\infty \end{eqnarray}$ ?
11.05.2015, 18:08	af90	Auf diesen Beitrag antworten »
ich würde sagen, dass da das selbe herauskommt, weil das x² wieder positiv wird.
11.05.2015, 18:45	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, und was passiert wenn man $\begin{eqnarray} \lim_{y\to -\infty} e^y \end{eqnarray}$ betrachtet? Das ist genau das gleiche was passiert, wenn man $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \pm\infty} e^{32221x - 10^{-23} x^2} \end{eqnarray}$ betrachtet, nach genau dieser Überlegung.
11.05.2015, 21:47	af90	Auf diesen Beitrag antworten »
dann wird das ganze 0, weil e^irgendwas großes negatives 0 wird!?
11.05.2015, 21:51	af90	Auf diesen Beitrag antworten »
eine Sache verstehe ich nicht: müsste dann der Grenzwert für + unendlich nicht auch bei 0 liegen wenn man das e noch dazu zieht?
11.05.2015, 22:06	Rbn	Auf diesen Beitrag antworten »
Welches e möchtest du zu welchem Grenzwert hinzuziehen?
11.05.2015, 22:26	af90	Auf diesen Beitrag antworten »
geht um Aufgabe d). Ich meine, wenn ich mir den Exponenten angeschaut habe, muss ich ja in die Überlegungen noch irgendwie das e mit einbeziehen.
11.05.2015, 22:41	Rbn	Auf diesen Beitrag antworten »
Was gibts da hinzu zu beziehen? Bei der Funktion f(x) mit $\begin{align} f(x) = {e^{32221x}} \cdot {e^{ - {{10}^{ - 23}} \cdot {x^2}}} = {e^{32221x - {{10}^{ - 23}} \cdot {x^2}}} \end{align}$ ist der Grenzwert für $\begin{align} \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } {e^{32221x - {{10}^{ - 23}} \cdot {x^2}}} = 0 \end{align}$ , da der Exponent von e gegen $\begin{align} - \infty \end{align}$ strebt. Egal was anstelle des e stände, da $\begin{align} \mathop {\lim }\limits_{n \to \pm \infty } irgendwas^{- n^2} =0 \end{align}$ ist. Wobei $\begin{align} irgendwas \in \mathbb{R}^{ \ne 0} \end{align}$ ist.
11.05.2015, 22:49	af90	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, nun habe ich es verstanden, dass der Grenzwert für + als auch - unendlich für diese Funktion gegen 0 strebt. Hast du einen Tipp für die b)? Ich weiß nicht ganz, wie das mit dem Betrag gehen soll. Allerdings weiß ich , dass der Nenner dank des x² immer positiv gegen unendlich streben wird.
11.05.2015, 22:59	Rbn	Auf diesen Beitrag antworten »
Einen Tipp? Versuch mal x im Zähler UND Nenner auszuklammern, sodass du kürzen kannst. Dann sieh dir den Grenzwert an....
11.05.2015, 23:08	af90	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Nenner ausgeklammert ist 1+x*x. Mich verwirrt der Betrag im Zähler. Wenn x postiv wäre und sich dadurch die ganzen x wegkürzen, würde ich sagen, dass der Grenzwert 1 ist.
11.05.2015, 23:15	Rbn	Auf diesen Beitrag antworten »
Falsch der Nenner ausgeklammert ist $\begin{align} x \cdot (x+ \frac{1}{x}) \end{align}$ . Ich verstehe, dass dich der Betrag verwirrt. Überleg, wenn X ausgeklammert und weggekürzt ist, was passiert im Nenner bei Anwendung des Grenzwertes. Der Zähler bleibt stets Positiv für $\begin{align} \pm \infty \end{align}$ .... Aber der Nenner...
11.05.2015, 23:20	af90	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich für x unendlich einsetzen würde, würde der Nenner doch positiv unendlich bleiben?!
11.05.2015, 23:23	Rbn	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht, wenn du X ausgeklammert und weggekürzt hast und den Nenner dann für x gegen $\begin{align} -\infty \end{align}$ gehen lässt.... Heißer Tipp, geh' davon aus: $\begin{align} \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{x \cdot \left\| {\left. x \right\|} \right.}}{{{x^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{\left\| x \right\|}}{{x + \frac{1}{x}}} \end{align}$
11.05.2015, 23:30	af90	Auf diesen Beitrag antworten »
Für + unendlich würde da doch sowas wie unendlich durch unendlich stehen?! 1/x kann doch vernachlässigt werden, da es in jedem Fall sehr klein wird.
11.05.2015, 23:31	Rbn	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau und in dem Falle ist das eins. Wie ist es mit $\begin{align} - \infty \end{align}$ für x?
11.05.2015, 23:41	af90	Auf diesen Beitrag antworten »
Müsste das dann nicht auch 1 sein? Ich teile ja so gesehen - unendlich durch -unendlich?!
11.05.2015, 23:44	Rbn	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie soll der Betrag denn negativ sein?
11.05.2015, 23:50	af90	Auf diesen Beitrag antworten »
Achja....dann ist der Grenzwert -1, weil man quasi + unendlich durch - unendlich teilen würde. Hast du auch noch einen Hinweis für die c) ? Sieht fast gleich aus, abgesehen vom Logarithmus.
13.05.2015, 14:57	af90	Auf diesen Beitrag antworten »
Würde gerne die 1c) noch verstehen. Jemand da, der mir helfen kann?
13.05.2015, 22:01	af90	Auf diesen Beitrag antworten »
Niemand da, der mir bei der letzten Aufgabe kurz helfen mag?
14.05.2015, 08:39	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du scheinst wirklich im Matheboard-Limbo gefangen zu sein. Also man will $\begin{eqnarray} \ln \left ( \frac { \|x\| } { 1 + x^2}\right) \end{eqnarray}$ verstehen, dafür sollte man zuerst $\begin{eqnarray} \frac { \|x\| } { 1 + x^2} \end{eqnarray}$ verstehen. Was passiert hier, wenn x gegen +/- unendlich läuft?
14.05.2015, 10:16	af90	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde sagen, dass es für + als auch - unendlich gegen 0 läuft
14.05.2015, 10:17	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, und was passiert nun, wenn $\begin{eqnarray} \lim_{y \to 0} \ln(y) \end{eqnarray}$ ?
14.05.2015, 10:32	af90	Auf diesen Beitrag antworten »
ln von 0 ist doch nicht definiert,oder?
14.05.2015, 10:36	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist es nicht, aber was passiert wenn man positive Werte in den Logarithmus einsetzt, die aber immer kleiner werden:
14.05.2015, 12:38	af90	Auf diesen Beitrag antworten »
dann strebt der Grenzwert für +- unendlich gegen - unendlich
14.05.2015, 12:45	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz genau

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