ln = (a-b)/a ?

05.05.2015, 13:31	blödie	Auf diesen Beitrag antworten »
ln = (a-b)/a ? jETZT KOMMT EINE DUMME FRAGE. Aber es beschäftigt mich mir ist aufgefallen, wenn man 2 zahlen a und b in den ln multipliziert man ein ähnliches ergebnis hat wie (a-b)/a warum ist das so? Zum Beispiel a=5 und b=4 Rechnung 1; (5-4)/5 = 1/5 (0,2) Rechnung 2: ln(5/4) = 0,223.. Wozu nutzt man ln eigentlich? Wie würde an ln ohne taschenrechner berechnen?
05.05.2015, 13:51	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Das liegt daran, weil deine Zahlen klein gewählt sind. Je größer die Zahlen werden, desto ungenauer wird das was du "im kleinen" beobachtet hast. Der $\begin{eqnarray} \ln \end{eqnarray}$ , also der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion der e-Funktion. Allgemein benutzt man den Logarithmus um Gleichungen der Form $\begin{eqnarray} a^x=b \end{eqnarray}$ zu lösen. Genau so wie du die Wurzel benutzt um quadratische Gleichungen zu lösen. Tatsächlich ist deine Beobachtung aber nahe einer recht wichtigen Abschätzung die man für den Logarithmus verwendet, nämlich $\begin{eqnarray} \ln(x)\leq x-1 \end{eqnarray}$ Wenn du hier $\begin{eqnarray} x=\frac{a}{b} \end{eqnarray}$ wählst, dann erhältst du $\begin{eqnarray} \ln\left(\frac{a}{b}\right)\leq \frac{a}{b}-1=\frac{a-b}{b} \end{eqnarray}$ Dies ist jedoch nur eine Abschätzung und keine Näherung, die für größere Zahlen immer ungenauer wird. Die Beobachtung als solches, bzw. das du irgendwie diese Ungleichung erahnt hast (mehr oder weniger) ist dennoch ziemlich gut. Edit: Den Logarithmus ohne Taschenrechner zu bestimmen geht im Grunde nicht wirklich... Früher hat man die Werte aus Tabellen abgelesen. Der Taschenrechner nimmt einem dies nun ab. In manchen Fällen kann man aber schon Aufgaben im Kopf lösen, wenn die Zahlen dementsprechend gewählt sind. Etwa $\begin{eqnarray} \log_2(16)=\dotso \end{eqnarray}$ . Also der Logarithmus zur Basis 2. Hier würdest du dir dann überlegen mit welcher Zahl du 2 potenzieren musst, damit du 16 erhältst. $\begin{eqnarray} 2^x=16 \end{eqnarray}$
05.05.2015, 14:01	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
Und wenn a und b beliebig aus (0;20) gewählt werden, ist die Wahrscheinlichkeit recht hoch, dass die Differenz $\begin{align} \ln \frac ab - \frac {a-b}a \end{align}$ kleiner als Eins ist: [attach]37959[/attach] Lediglich für a=1 und größere b läuft es schnell aus dem Ruder. Viele Grüße Steffen
05.05.2015, 14:02	blödie	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Danke. Ich habe nun weiter experimentiert... Mit großen zahlen funktioniert es auch... Das taucht wohl auf wenn a und b weit "von einander entfernt" sind oder? Wie könnte man Ln per hand, also ohne taschenrechner bestimmt? Wenn ich zum Beispiel ln (5) ohne Taschenrechner bestimmen möchte, wie gehe ich vor?
05.05.2015, 14:05	blödie	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, jetzt erst gesehen das mehr dazu kam während ich in einen brötchen bisss :-) Vielen Dank
05.05.2015, 14:14	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Du würdest dir überlegen, für welches x gilt $\begin{eqnarray} e^x=5 \end{eqnarray}$ wobei e die sogenannte Eulersche Zahl ist. e ist irrational, also genau wie $\begin{eqnarray} \sqrt{2} \end{eqnarray}$ nicht als Bruch darstellbar. $\begin{eqnarray} e\approx 2,71828... \end{eqnarray}$
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05.05.2015, 14:18	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Statt mit zwei Parametern kann man das auf einen Parameter zurückführen: Aus $\begin{align} \ln\left( \frac{a}{b} \right) \stackrel{?}{\approx} \frac{a-b}{a} \end{align}$ wird mit Substitution $\begin{align} x:=\frac{b}{a} \end{align}$ die Approximation $\begin{align} -\ln(x) = \ln\left( \frac{1}{x} \right) \stackrel{?}{\approx} 1-x \end{align}$ , was dem Taylorpolynom ersten Grades von $\begin{align} -\ln(x) \end{align}$ an der Entwicklungsstelle $\begin{align} x_0=1 \end{align}$ entspricht.

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