Minimalpolynome eines Projektors |
| 05.05.2015, 16:00 | JensSkywalker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Minimalpolynome eines Projektors Folgende Aufgabe: "Bestimmen Sie das Minimalpolynom eines Projektor p : V ___> V (d.h. p^2 = p) wobei V ein endlichedimensional Vektorraum ist. Bestimmen Sie eine zu p ähnliche Diagonalmatrix." Ich weiß, wie ich Minimalpolynome von Matrizen bestimme, wenn ich diese gegeben bekomme. Aber hier fehlt mir irgendwie die erste zündelnde Idee. Hat jemand einen Denkanstoß für mich? Danke! Gruß |
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| 05.05.2015, 16:07 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, was ist denn die Definition des Begriffs Minimalpolynom? |
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| 05.05.2015, 16:31 | JensSkywalker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nach Definition ist es das kleinstgradige Polynom mit: Und es ist ein Teiler vom Charakteristischen Polynoms. |
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| 05.05.2015, 16:36 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wunderbar. Die Definition des Projektors liefert ein Polynom mit P als Nullstelle. |
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| 05.05.2015, 16:43 | JensSkywalker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn das Polynom P, P als Nullstelle hat, sind die Eigenwerte von P 1 und 0? |
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| 05.05.2015, 16:47 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
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| 05.05.2015, 17:00 | JensSkywalker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Okay 
Ist blöd formluliert worden 
Also p ist NST des Projektors. Wie soll ich denn den Projektor in ein Polynom "packen"? Wir benötigen ja die Eigenwerte ( einer Matrix), bzw. die Nullstellen des Polynoms, um das Minimalpolynom bestimmen zu können... oder?! |
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| 05.05.2015, 17:07 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
- p ist bereits belegt als Bezeichner des Projektors. Nimm irgendwelche anderen Zeichen. - Was soll denn die Nullstelle einer linearen Abbildung sein?
Genau das ist der Punkt. Eigenwerte sind überhaupt nicht nötig. Hier ist ist sinnvoller das Min.polynom zu verwenden um die Eigenwerte zu kriegen, als andersrum.
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| 05.05.2015, 17:15 | JensSkywalker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also ist X NST von P. Die NSTn wären dann die Eigenwerte. Aber ich weiß dann nicht, wie ich das Min.polynom ohne die Eigenwerte bestimmen kann, da es ja: (Eigenwert - Unbekannte)^x heißt?! Das Polynom ist dann = p^2 ? |
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| 05.05.2015, 17:24 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn du Bezeichner einführst, bitte erkläre diese. Ich habe keine Ahnung was P sein soll oder was das sein soll:
Du suchst ein Polynom das deinen Projektor p als Nullstelle hat. |
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| 05.05.2015, 17:45 | JensSkywalker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich bin gerade leicht verwirrt. Mein Projektor P ist: p^2 = p ? Dann bedeutet dies doch Wolltest du in diese Richtung? |
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| 05.05.2015, 17:52 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja.
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| 05.05.2015, 18:05 | JensSkywalker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ah okay, dann hieße es ja: Das char.polynom := cp cp = x² - x = x*(x -1) mit dem Rang 2. Kann jetzt das mim.polynom := mp = x sein? Da ja in der Aufgabe nirgens steht, dass P > 0 sein soll? |
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| 05.05.2015, 18:13 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Polynome haben keinen Rang. Wieso ist das das char. Polynom?
Falls sie in euerer Def. nicht ausgeschlossen wurden muss p=0,E separat betrachtet werden. |
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| 05.05.2015, 18:23 | JensSkywalker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sorry, meinte natürlich Grad 2. Ich weiß es nicht, ich bin immer noch bei den Eigenwerten, die ja 0 und 1 sein müssen.. Das würde dann genau so passen.. Ich steck gerade irgendwie fest |
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| 05.05.2015, 18:30 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es gilt Grad des char. Polynoms = Dimension des Vektorraums. Und: In der Aufgabe ist nirgendwo das char. Polynom gefragt. Und zu den Eigenwerten hab ich mich eigentlich schon genug ausgelassen. |
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| 05.05.2015, 18:46 | JensSkywalker | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Okay, zwei Schritte zurück: Was kann ich denn aus P² - P = 0 schließen? |
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| 05.05.2015, 19:54 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dass du ein Polynom gefunden hast, dass P als Nullstelle hat und damit ein Vielfaches des Minimalpol. ist. |
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| 05.05.2015, 22:01 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=207221 |
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