Uneigentliches Integral auf Existenz prüfen

05.05.2015, 18:41

danooh

Uneigentliches Integral auf Existenz prüfen

Sei $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ fest.

In der Vorlesung haben wir für $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\infty} \! \frac{sin(s)}{s} \, ds \end{eqnarray*}$
die Existenz bzgl. der oberen Integrationsgrenze gezeigt.

Dies macht man für $\begin{eqnarray*} \int_{\delta}^{\infty} \! \frac{cos(s)}{s} \, ds \end{eqnarray*}$ analog (für die obere Integrationsgrenze).

Die Aufgabe ist jetzt:
Zu Untersuchen bleibt die Konvergenz für $\begin{eqnarray*} \delta \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

Finden Sie eine möglichst einfache Funktion $\begin{eqnarray*} f:]0,1] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ ,
sodass $\begin{eqnarray*} \lim_{\delta \searrow 0} (-f(\delta) + \int_{\delta}^{\infty} \! \frac{cos(s)}{s} \, ds) \end{eqnarray*}$ existiert.

Ich habe nicht so wirklich Zugang zu der Aufgabe...
Ich soll wohl das asymptotische Verhalten des Integrals verstehen und das ganze
durch eine 'einfache' Funktion annähern?

Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt, und möchte die Lösung gemeinsam
mit anderen erarbeiten.

VG

05.05.2015, 18:55

HAL 9000

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Hinweis: Es ist

$\begin{align*} \frac{\cos(s)}{s} = \frac{\cos(s)-1}{s} + \frac{1}{s} \end{align*}$ ,

wobei der erste Summand rechts für $\begin{align*} s\to 0 \end{align*}$ beschränkt bleibt.

05.05.2015, 20:00

danooh

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Dann forme ich doch mal um:

$\begin{eqnarray*} \int_{\delta}^{\infty} \! \frac{cos(s)}{s} \, ds \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_{\delta}^{\infty} \! \frac{cos(s)-1}{s}+ \frac{1}{s} ds \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \int_{\delta}^{\infty} \! \frac{cos(s)-1}{s}+ \int_{\delta}^{\infty} \! \frac{1}{s} ds \end{eqnarray*}$

Jetzt ist zwar der erste Summand beschränkt, dafür aber der zweite nicht.
Vllt. bin ich auch einfach nur auf dem Holzweg verwirrt

05.05.2015, 20:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von danooh
dafür aber der zweite nicht.

Ist er nicht, richtig - was hast du denn erwartet? Dein uneigentliches Integral existiert nun mal nicht.

Es war auch eher als Hinweis gedacht, wie du hier

Zitat:

Original von danooh
Finden Sie eine möglichst einfache Funktion $\begin{eqnarray*} f:]0,1] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ ,
sodass $\begin{eqnarray*} \lim_{\delta \searrow 0} (-f(\delta) + \int_{\delta}^{\infty} \! \frac{cos(s)}{s} \, ds) \end{eqnarray*}$ existiert.

ein solches $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ finden kannst.

05.05.2015, 20:37

danooh

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Hmm,
angenommen ich definiere mir mein f wie folgt:

$\begin{eqnarray*} f: ]0,1] \rightarrow \mathbb R, x \mapsto \int_{x}^{\infty} \! \frac{1}{s} \, ds \end{eqnarray*}$

Dann ergibt sich für:

$\begin{eqnarray*} \lim_{\delta \searrow 0} (-f(\delta) + \int_{\delta}^{\infty} \! \frac{cos(s)}{s} \, ds) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \lim_{\delta \searrow 0} (\int_{\delta}^{\infty} \! \frac{cos(s)-1}{s} \, ds) \end{eqnarray*}$

Und dieser Grenzwert existiert offensichtlich.

05.05.2015, 20:41

HAL 9000

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Nein, mit oberer Grenze $\begin{align*} \infty \end{align*}$ klappt das offensichtlich nicht. Du musst dir da was endliches suchen, also z.B.

$\begin{align*} x\mapsto \int\limits_x^1 \frac{1}{s} ~ \dd s \end{align*}$ .

Eigentlich egal, was du da als obere Grenze wählst, aber endlich muss es sein!

05.05.2015, 20:56

danooh

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Ok, also

f: $\begin{eqnarray*} x \mapsto \int_{x}^{1} \! \frac{1}{s} \, ds \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{\delta \searrow 0} (-f(\delta) + \int_{\delta}^{\infty} \! \frac{cos(s)}{s} \, ds) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \lim_{\delta \searrow 0} (-\int_{\delta}^{1} \! \frac{1}{s} + \int_{\delta}^{\infty} \! \frac{cos(s)}{s} \, ds) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \lim_{\delta \searrow 0} (-\int_{\delta}^{1} \! \frac{1}{s} + \int_{\delta}^{1} \! \frac{cos(s)}{s} \, ds + \int_{1}^{\infty} \! \frac{cos(s)}{s} \, ds) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \lim_{\delta \searrow 0} (-\int_{\delta}^{1} \! \frac{1}{s} + \int_{\delta}^{1} \! \frac{1}{s} \, ds + \int_{\delta}^{1} \! \frac{cos(s)-1}{s} \, ds + \int_{1}^{\infty} \! \frac{cos(s)}{s} \, ds) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \lim_{\delta \searrow 0} (\int_{\delta}^{1} \! \frac{cos(s)-1}{s} \, ds + \int_{1}^{\infty} \! \frac{cos(s)}{s} \, ds) \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich, dass das linke Integral ex., und das rechte ex. auch.
Wie schaut es jetzt mit dem Grenzwert der Summe aus? Muss ich das noch umformen?

05.05.2015, 20:59

HAL 9000

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Den Grenzwert wirst du schwerlich berechnen können - musst du ja auch nicht, es reicht die Erkenntnis, dass er existiert.

Du solltest eher noch das f in eine "gefällige" Form bringen, d.h. das Integral dort wirklich ausrechnen ("finden Sie eine möglichst einfache Funktion...").

05.05.2015, 21:08

danooh

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In etwa so?

$\begin{eqnarray*} f: ]0,1] \rightarrow \mathbb R, x \mapsto \int_{x}^{1} \! \frac{1}{s} \, ds =ln(x) \end{eqnarray*}$

05.05.2015, 21:10

HAL 9000

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Vorzeichenfehler: Tatsächlich kommt $\begin{align*} f(x)=-\ln(x) \end{align*}$ heraus.

05.05.2015, 21:14

danooh

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Natürlich! Das ist mir abhanden gekommen - tut mir Leid.

Eine Sache bereitet mir noch Schwierigkeiten:
Ich habe nun ein f, s.d. $\begin{eqnarray*} \lim_{\delta \searrow 0} (-f(\delta) + \int_{\delta}^{\infty} \! \frac{cos(s)}{s} \, ds) \end{eqnarray*}$ existiert.
Wie schlussfolgere ich daraus die Nicht-Existenz von
$\begin{eqnarray*} \lim_{\delta \searrow 0} (\int_{\delta}^{\infty} \! \frac{cos(s)}{s} \, ds) \end{eqnarray*}$ ?
Genügt, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{\delta \searrow 0} (\int_{\delta}^{1} \! \frac{1}{s} \, ds) \end{eqnarray*}$
nicht existiert?

05.05.2015, 21:20

HAL 9000

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Wir wissen doch nun, dass $\begin{align*} \lim_{\delta \searrow 0} \left( \ln(\delta) + \int\limits_{\delta}^{\infty} \frac{\cos(s)}{s} ~ \dd s\right) \end{align*}$ existiert.

Indirekter Beweis: Angenommen, $\begin{align*} \lim_{\delta \searrow 0} \left( \int\limits_{\delta}^{\infty} \frac{\cos(s)}{s} ~ \dd s\right) \end{align*}$ existiert, dann muss nach Konvergenzsätzen auch die Differenz konvergieren, was aber bei

$\begin{align*} \lim_{\delta \searrow 0} \ln(\delta) = -\infty \end{align*}$

offenbar nicht der Fall ist, Widerspruch.

05.05.2015, 21:29

danooh

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Aah vielen Dank für deine Hilfe smile

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