Quadratische Interpolierte Funktion log(x)

05.05.2015, 19:30

AmHa

Quadratische Interpolierte Funktion log(x)

Meine Frage:
Folgende Aufgabe:
Die Funktion log(x) werde quadratisch interpoliert (d.h. mit einem Polynom zweiten Grades). Die Stützstellen seien x0=10, x1=11 und x2=12.
I) Schätzen sie für x=11,1 den Interpolationsfehler ab.
II) Wie hängt das Vorzeichen des Fehlers von x ab?

Meine Ideen:
Habe leider nicht ganz, was genau es mit der Interpolation auf sich hat, wenn mir jemand helfen könnte, wäre das super. Danke schonmal!

05.05.2015, 22:24

Steffen Bühler

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RE: Quadratische Interpolierte Funktion log(x)
Du hast drei x-Werte gegeben, zu denen Du über die Funktionsvorschrift drei y-Werte erhältst.

Durch diese drei Punkte legst Du nun eine Parabel $\begin{align*} y=ax^2+bx+c \end{align*}$ .

Kommst Du jetzt weiter?

Viele Grüße
Steffen

06.05.2015, 18:50

AmHa

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RE: Quadratische Interpolierte Funktion log(x)
Also, ich kann das zwar ausrechnen, aber wie mache ich denn dann weiter ?

06.05.2015, 20:22

Steffen Bühler

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RE: Quadratische Interpolierte Funktion log(x)
Ich würde jetzt ausrechnen, was diese Funktion sowie der log bei 11,1 für einen Wert hat. Die Differenz ist dann der Fehler.

Allerdings irritiert auch mich, dass "geschätzt" werden soll.

07.05.2015, 02:56

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RE: Quadratische Interpolierte Funktion log(x)
Frueher hat man schwierig zu berechnende Funktionen aus Tabellen entnommen und Werte an nichttabellierten Stellen durch Interpolation ermittelt. Im Beispiel hat man log(10), log(11) und log(12). Der Wert fuer log(11,1) steht nicht in der Tabelle, sonst braeuchte man ja nicht zu interpolieren. Also kann man auch nicht direkt eine Differenz angeben, sondern muss abschaetzen. Das ist eine Old-School-Aufgabe, nix Taschenrechner oder so.

07.05.2015, 09:36

HAL 9000

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Frage II (und wohl auch I) deutet daraufhin, dass ihr wohl auch über den Fehler einer Polynom-Interpolation gesprochen habt:

Wenn $\begin{align*} p_n \end{align*}$ diese Interpolationsfunktion $\begin{align*} n \end{align*}$ -ten Grades ist, die an den Stellen $\begin{align*} x_0<x_1<\ldots<x_n \end{align*}$ mit $\begin{align*} f \end{align*}$ übereinstimmt, dann ist

$\begin{align*} f(x)-p_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\cdot \prod\limits_{i=0}^n (x-x_i) \end{align*}$

mit irgendeinem $\begin{align*} \xi\in (x_0,x_n) \end{align*}$ . Vorausgesetzt wird dabei, dass $\begin{align*} f \end{align*}$ mindestens $\begin{align*} (n+1) \end{align*}$ -mal stetig differenzierbar ist im betrachteten Intervall $\begin{align*} (x_0,x_n) \end{align*}$ .

Ok, hier haben wir $\begin{align*} n=2 \end{align*}$ mit $\begin{align*} x_0=10,x_1=11,x_2=12 \end{align*}$ . Ich gehe mal davon aus, dass mit $\begin{align*} \log \end{align*}$ der natürliche Logarithmus gemeint ist, also $\begin{align*} f(x)=\ln(x) \end{align*}$ , dann ist $\begin{align*} f'(x)=\frac{1}{x} \end{align*}$ , $\begin{align*} f''(x)=-\frac{1}{x^2} \end{align*}$ und $\begin{align*} f'''(x)=\frac{2}{x^3} \end{align*}$ , was für den o.g. Fehlerterm dann

$\begin{align*} \ln(x) - (ax^2+bx+c) = \frac{1}{3\xi^3} (x-10)(x-11)(x-12) \end{align*}$

ergibt. Damit sollte das Fehlervorzeichen für bestimmte $\begin{align*} x \end{align*}$ dann jeweils klar sein - auch ohne konkrete Kenntnis von $\begin{align*} a,b,c \end{align*}$ . Augenzwinkern

07.05.2015, 18:31

AmHa

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Vielen Dank erstmal!
Heißt es dann also, dass ich durch deine vorletzte Zeile durch Einsetzen einfach den Fehler berechnet habe ?
Und ich kann doch ¾ nicht einfach irgendwie wählen, sonst verändert sich doch je nachdem das Ergebnis ?

07.05.2015, 18:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von AmHa
Und ich kann doch ¾ nicht einfach irgendwie wählen ?

¾ wählen ??? Was soll das denn bedeuten? verwirrt

07.05.2015, 18:39

AmHa

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Das hat mein Laptop wahrscheinlich umgewandelt, ich meine eigentlich den griechischen Buchstaben Xi

07.05.2015, 18:40

HAL 9000

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Nein, das hast du missverstanden: Das $\begin{align*} \xi \end{align*}$ wird nicht gewählt - die Satzaussage ist nur, dass ein solches $\begin{align*} \xi \end{align*}$ mit dieser Eigenschaft existiert! Ist so ähnlich wie beim Mittelwertsatz. Die Kenntnis, dass $\begin{align*} \xi \end{align*}$ im Intervall (10,12) liegt, lässt ja eine Abschätzung zu!

07.05.2015, 18:56

AmHa

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Kann man das so machen?

|p(11,1) -f(11,1)| = |(dritte Ableitung f(Xi)/3!) * w(11,1)|
= |(2/3!*Xi^3) * (11,1-10)(11,1-11)(11,1-12)| <= 0,000033
Und dann wäre 0,000033 der berechnete Fehler ?

07.05.2015, 18:59

HAL 9000

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Es ist nicht der Fehler, es ist eine obere Abschätzung des Fehlers! Anscheinend hast du dazu $\begin{align*} \xi=10 \end{align*}$ eingesetzt, was hier tatsächlich der "worst-case" ist. Freude

07.05.2015, 19:01

AmHa

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Ja, genau das habe ich gemacht!
Vielen Dank nochmal!! Hat mir wirklich weitergeholfen smile

)

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