Maximaler/minimaler Abstand Punkt - Ellipse

06.05.2015, 12:45

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Maximaler/minimaler Abstand Punkt - Ellipse

Hallo Forum!

Ich rechne gerade Altklausuren durch und bin dabei auf eine Extremwertaufgabe gestoßen, wo ich scheinbar ständig irgendwo einen Fehler mache.

"Welche Punkte der Ellipse haben vom Punkt P(1;0) den maximalen bzw. minimalen Abstand?"

$\begin{eqnarray*} Ellipse: \frac{1}{4}x^2 + y^2 = 1 ZF: d(x;y) = \sqrt{(x-1)2 + y^2} NB: y = \pm \frac{\sqrt(4 - x^2)}{2} eingesetzt: d(x) = \sqrt((x-1)^2 + \frac{4 - x^2}{4}) d(x) = \sqrt(\frac{3}{4}x^2 - 2x +2) d'(x) = \frac{\frac{3}{2}x - 2 }{2\sqrt(\frac{3}{4}x^2 - 2x +2 } = 0 x= \frac{4}{3} \end{eqnarray*}$

Mit dem ausgerechneten x komme ich auf einen Abstand von ca. 0,86. Jedoch fehlt mir nun noch der maximale Abstand und ich weiß nicht wie ich auf diesen noch kommen soll.
Da das Zählerpolynom = 1 ist, bekomme ich darüber ja keine zwei Werte für x raus und daraus resultierend habe ich entweder nur ein Maximum oder nur ein Minimum.

Wo liegt der Fehler?

Vielen Dank im Vorraus!

06.05.2015, 13:00

Bürgi

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RE: Maximaler/minimaler Abstand Punkt - Ellipse
Hallo,

bestimme die Definitionsmenge. Es handelt sich um ein Randextremum.

31.05.2015, 21:07

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Hallo,
ich bin's nochmal.

Habe die Aufgabe letztens etwas aus den Augen verloren, mich nun aber wieder daran versucht.
Mit dem selben Ergebnis wie zuvor.

bezüglich Randextremum:

$\begin{eqnarray*} -2 \leq x \leq 2 damit d(-2) = 9 d(+2) = 1 d(\frac{4}{3}) = \frac{2}{3} < 1 -> Minimum \end{eqnarray*}$

Aber woher nehme ich nun das Maximum, habe da einfach keinen Anhaltspunkt.
Kann mir jemand noch einen konkreteren Tipp geben? Wäre sehr dankbar!

Beste Grüße!

31.05.2015, 21:16

Bürgi

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Guten Abend,

vielleicht hilft ja diese Skizze:

[attach]38250[/attach]

Welcher der eingezeichneten Abstände ist dann das Maximum?

31.05.2015, 21:33

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Der Abstand zum Punkt E(-2;0) vermutlich.
Zum Glück hast du die Skizze nochmal abgeändert, die Ausführung davor erschien mir etwas verwirrend.
Alles klar. Achso, die 9 als Wert für -2 waren im übrigen nicht ganz richtig. Hatte in meiner zweiten Rechnung mit dem Quadrat des Abstands gerechnet (minimaler / maximaler quadratischer Abstand lässt auf minimalen / maximalen "normalen" Abstand schließen).

Also sind meine x einmal 4/3 und einmal -2.
Gibt es einen rechnerischen Schritt, mit dem man auf dieses Ergebnis gekommen wäre oder geht dies tatsächlich nur über die Bestimmung der Randwerte und die Betrachtung der Skizze?

Vielen Dank

31.05.2015, 21:58

Bürgi

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Hallo,

ich hatte ja gehofft, dass Du nicht bemerktest, dass meine Zeichnung ... na ja, ich hoffe, es ist kein größerer Schaden angerichtet worden.

Zitat:

Gibt es einen rechnerischen Schritt, mit dem man auf dieses Ergebnis gekommen wäre oder geht dies tatsächlich nur über die Bestimmung der Randwerte und die Betrachtung der Skizze?

Du hast als Definitionsmenge ein geschlossenes Intervall. In einem solchen Fall gehört die Betrachtung der Randwerte zwingend zum Prozedere dazu.

(Du machst das ja auch bei asymptotischen Funktionen, wenn der Definitionsbereich ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist. Z.B.: $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{-x^2} \end{eqnarray*}$ hat ein Maximum und zwei Randminima)

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