Satz von Taylor

06.05.2015, 12:53

Jens_Müller

Satz von Taylor

Guten Tag!

Ich habe gerade ein Problem, einen Beweis nachzuvollziehen.
Es geht um eine glatte Funktion $\begin{eqnarray*} f: U\to\mathbb{R}^p \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ eine offene Teilmenge des $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ist.
Außerdem ist $\begin{eqnarray*} I^n\subseteq U \end{eqnarray*}$ ein Würfel mit Kantenlänge $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C_k \end{eqnarray*}$ die Menge aller Punkte aus $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , an denen alle partiellen Ableitungen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ der Ordnung $\begin{eqnarray*} \leq k \end{eqnarray*}$ verschwinden.
Jetzt steht da folgender Satz:

Zitat:

From Taylor's Theorem, the compactness of $\begin{eqnarray*} I^n \end{eqnarray*}$ , and the definition of $\begin{eqnarray*} C_k \end{eqnarray*}$ , we see that $\begin{eqnarray*} f(x+h)=f(x)+R(x,h) \end{eqnarray*}$ where $\begin{eqnarray*} \|R(x,h)\|\leq c \|h\|^{k+1} \end{eqnarray*}$ for $\begin{eqnarray*} x\in C_k\cap I^n, x+h\in I^n \end{eqnarray*}$ . Here $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ is a constant which only depends on $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ and $\begin{eqnarray*} I^n \end{eqnarray*}$ .

Ich weiß nicht, wie ich das zeigen soll.
In der Analysis-Vorlesung haben wir Taylorpolynome nur für reellwertige Funktionen definiert, nicht für vektorwertige (wie hier). Wie funktioniert das?
Und eine Abschätzung für mehrdimensionale Restglieder habe ich auch nicht gefunden.

Kann mir jemand weiterhelfen? smile

06.05.2015, 18:02

RavenOnJ

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RE: Satz von Taylor
Hallo Jens,

da es sich bei $\begin{align*} f:U\to\mathbb R^p,f:=(f_1,f_2,\cdots,f_p),f_i:U\to\mathbb R,1\le i\le p \end{align*}$ um eine vektorwertige Funktion handelt, muss man jede Komponente einzeln gemäß Taylor entwickeln. Der Punkt, an dem man dabei aufpassen muss, ist die Restgliedabschätzung. Dort muss man für jede Komponente einen eigenen Parameter (üblicherweise mit $\begin{align*} \theta \end{align*}$ bezeichnet) benutzen. Man hat also p solche Parameter $\begin{align*} \theta_i,1\le i\le p \end{align*}$ .

Für die Taylor-Entwicklung im mehrdimensionalen Fall empfehle ich diese ausführliche Ausarbeitung.

Die Taylor-Entwicklung mit Restglied (umgeschrieben für deine Notation) lautet
$\begin{align*} f_i(x+h)=\sum\limits_{j=0}^{k}\frac{1}{j!}\left((h\nabla)^j f_i\right)(x) +\frac{1}{(k+1)!} \left((h\nabla)^{k+1} f_i\right)(x+\theta_i h) \end{align*}$

Mit $\begin{align*} h\nabla := \sum\limits_{m=1}^n h_m\partial_m \end{align*}$ ist das Skalarprodukt des Vektors $\begin{align*} h \end{align*}$ mit dem Vektor der partiellen Ableitungen $\begin{align*} \nabla \end{align*}$ gemeint. (Ich habe die Reihenfolge gegenüber der Ausarbeitung vertauscht, damit klar ist, dass die Ableitungen nicht auf h wirken.)

Der gesamte Ausdruck vereinfacht sich in deinem Fall, da die ersten k partiellen Ableitungen gleich 0 sind. Dadurch fällt die erste Summe rechts bis auf den Summanden für j=0 weg und im Restglied fallen alle Summanden weg, die gemischte Ableitungen enthalten. Dadurch reduziert sich das Restglied zu
$\begin{align*} \frac{1}{(k+1)!} \left(\sum\limits_{m=1}^n h_m^{k+1}\partial_m^{k+1} f_i\right)(x+\theta_i h) \end{align*}$

Mit $\begin{align*} c_{i,m}:=\partial_m^{k+1} f_i(x+\theta_i h) \end{align*}$ kann man dies einfacher als
$\begin{align*} \frac{1}{(k+1)!} \sum\limits_{m=1}^n h_m^{k+1}c_{i,m} \end{align*}$
schreiben.
Man kann nun definieren $\begin{align*} c_i:=\frac{1}{(k+1)!} \max_{1\le m\le n}c_{i,m} \end{align*}$ und mit der Abschätzung $\begin{align*} \sum\limits_{m=1}^n h_m^{k+1} \le \| h\|^{k+1} \end{align*}$ schreiben
$\begin{align*} \left\vert R_i(x,h) \right\vert = \frac{1}{(k+1)!} \sum\limits_{m=1}^n h_m^{k+1}c_{i,m}\le c_i \sum\limits_{m=1}^n h_m^{k+1} \le c_i \| h\|^{k+1} \end{align*}$

07.05.2015, 15:39

Jens_Müller

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Super. Danke für die Antwort. Wink

08.05.2015, 09:51

RavenOnJ

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RE: Satz von Taylor
Ich muss mich leider korrigieren, da in meinem Posting ein Fehler war. Letztendlich läuft es aber aufs selbe Ergebnis raus.

Im Restglied werden ja die partiellen Ableitungen an der Stelle $\begin{align*} x+\theta_i h \end{align*}$ vorgenommen und die gehören nicht unbedingt zur Menge $\begin{align*} C_k\cap I^n \end{align*}$ , die partiellen Ableitungen bis Ordnung $\begin{align*} \le k \end{align*}$ verschwinden dort also im Regelfall nicht. Man kann aber sagen , dass sie nahezu 0 sind in der Nähe des Punktes $\begin{align*} x \end{align*}$ , da es sich um eine glatte Funktion handelt.

Das Restglied ist ja
$\begin{align*} R_i(x,h) =\frac{1}{(k+1)!} \left((h\nabla)^{k+1} f_i\right)(x+\theta_i h) =\frac{1}{(k+1)!}\left(\sum\limits_{\alpha}\binom{k+1}{\alpha}h^\alpha D^\alpha f_i\right)(x+\theta_i h) \end{align*}$
mit dem Vektor der Exponenten $\begin{align*} \alpha:=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n),\sum\limits_{j=1}^n \alpha_j = k+1 \end{align*}$ , den Multinomialkoeffizienten $\begin{align*} \binom{k+1}{\alpha}:= \frac{(k+1)!}{\alpha_1 !\alpha_2 !\cdots \alpha_n !} \end{align*}$ ,
den Produkten von Potenzen $\begin{align*} h^\alpha:= h_1^{\alpha_1}h_2^{\alpha_2}\cdots h_n^{\alpha_n} \end{align*}$ und den Operatoren $\begin{align*} D^\alpha:= \partial_1^{\alpha_1}\partial_2^{\alpha_2}\cdots \partial_n^{\alpha_n} \end{align*}$

Man kann nun ähnlich wie oben definieren
$\begin{align*} c_{i,\alpha}:=\frac{1}{(k+1)!}\binom{k+1}{\alpha}D^\alpha f_i(x+\theta_i h) = \frac{1}{\alpha_1 !\alpha_2 !\cdots \alpha_n !}D^\alpha f_i(x+\theta_i h) \end{align*}$

und vereinfacht schreiben

$\begin{align*} R_i(x,h) =\frac{1}{(k+1)!}\left(\sum\limits_{\alpha}\binom{k+1}{\alpha}h^\alpha D^\alpha f_i\right)(x+\theta_i h) =\sum\limits_{\alpha}h^\alpha c_{i,\alpha} \end{align*}$

Ich hatte mich oben schon gewundert, wozu der Würfel $\begin{align*} I^n \end{align*}$ gebraucht wird. Der kommt jetzt ins Spiel. Wenn man nämlich nun die Kantenlänge $\begin{align*} \delta \end{align*}$ des Würfels $\begin{align*} I^n \end{align*}$ nur klein genug wählt, dann werden die Koeffizienten $\begin{align*} c_{i,\alpha},\alpha_m \le k \end{align*}$ sehr viel kleiner sein als das Maximum $\begin{align*} c_i \end{align*}$ der Koeffizienten $\begin{align*} c_{i,j}:=c_{i,\alpha},\exists\alpha_j = k+1,\alpha_m=0\text{ für }m\not=j \end{align*}$ und man kann ähnlich weiterargumentieren wie oben.

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