Gauß	Neue Frage »

06.05.2015, 17:24

96MichelleMichi96

Gauß

also zu Skizzieren fängt schon das Problem an, soll ich jetzt einfach eine Wertetabelle machen und Skiziieren oder wo ist der Harken ?

& wie man sigma in der Kurve abließt ?

Sigma gibt die Breite an ? mehr kann ich dau auch nicht sagen..

06.05.2015, 17:33

Steffen Bühler

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RE: Gauß
Wertetabelle brauchst Du hier keine, Du musst nur wissen, dass die Gaußglocke bei $\begin{align*} x = \mu \end{align*}$ ihr Maximum von etwa 0,4 hat sowie dass die Wendestellen bei $\begin{align*} x = \mu \pm \sigma \end{align*}$ liegen. Dann kannst Du sie schon hübsch skizzieren.

Viele Grüße
Steffen

06.05.2015, 17:43

96MichelleMichi96

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& woher weißt du das das Maximum bei 0,4 ist, berechnet man das oder ist das bei jeder Gaußkurve so ? smile

06.05.2015, 17:47

Steffen Bühler

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Das Maximum ist bei $\begin{align*} x= \mu \end{align*}$ , da wird die e-Funktion also zu Eins und es bleibt der Vorfaktor $\begin{align*} \frac 1 {\sqrt {2 \pi} \cdot \sigma } \end{align*}$ . Da hier $\begin{align*} \sigma = 1 \end{align*}$ ist, ergibt sich somit knapp 0,4, diesen Wert "weiß man". Augenzwinkern

Für andere Standardabweichungen ist die Höhe natürlich eine andere.

06.05.2015, 17:54

96MichelleMichi96

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ah ok kann das mit dem HP nachvollziehen smile

hier wäre meine Skizze

reicht das so oder muss ich noch die Wendestellen skizzieren ? smile

edit : Und nun muss ich die gegebende Funktion im Bereich von 0 bis unendlich integrieren

06.05.2015, 18:06

Steffen Bühler

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Eine Skizze hätte ich jetzt mit Papier und Bleistift erwartet, bei Deinem Plot sieht es für mich (für einen Professor wohl auch) eher so aus, als ob da ein Computer die gesamte Kurve berechnet hätte. Und damit kann man die Glocke nicht "kennenlernen".

Ein Fehler ist auch noch drin: der Mittelwert ist doch bei x=5 und nicht, wie in Deiner Kurve, bei x=0.

Du brauchst eigentlich nur drei Punkte: die 0,4 beim Mittelwert und die etwa 0,25 eine Standardabweichung links und rechts davon. Die verbindest Du freihändig mit einer Glocke.

Zitat:

Und nun muss ich die gegebende Funktion im Bereich von 0 bis unendlich integrieren

Nein, da steht, Du sollst das Integral von $\begin{align*} \mu - \sigma \end{align*}$ bis $\begin{align*} \mu + \sigma \end{align*}$ ausrechnen, und zwar über die Taylorreihe.

06.05.2015, 18:23

96MichelleMichi96

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is die Zeichnung so besser ?

woher weiß man das die Standardabweichung 0,25 ist smile

' wenns richtig ist mache ich das nochmal ordentlicher ^^ '

06.05.2015, 20:17

Steffen Bühler

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Da hast Du mich missverstanden.

Die Standardabweichung ist 1, das steht ja da. Die Gaußkurve hat an den Wendestellen, also eine Standardabweichung links und rechts vom Mittelwert ( also hier bei 4 und 6) den Wert 0,25.

06.05.2015, 20:53

96MichelleMichi96

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ah ok ..

dann ändere ich auf meine Skizze (bzw. mache eine neue ) die Werte von 5,25 und 4,75 zu 6 & 4

dann müsste die Skizze auch fertig sein smile

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi }*o}e^-{\frac{(x-u)^2}{2o^2} } \end{eqnarray*}$

habe für sigma = 0
und für glaube "phi" = u
eingesetzt, da ich die gri. Buchstaben nicht beim Formeleditor gefunden hatte..

$\begin{eqnarray*} \int_{u-o}^{u+o} \!\frac{1}{\sqrt{2\pi }*o}e^-{\frac{(x-u)^2}{2o^2} } \, dx \end{eqnarray*}$

06.05.2015, 21:20

Steffen Bühler

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Für $\begin{align*} \sigma \end{align*}$ schreibst Du einfach \sigma und für $\begin{align*} \mu \end{align*}$ \mu.

In das Integral kannst Du nun die entsprechenden Zahlen dafür schon mal einsetzen.

Aber, wie gesagt, dieses Integral lässt sich leider nicht bestimmen, es gibt nämlich keine Stammfunktion von $\begin{align*} e^{-x^2} \end{align*}$ .

Deswegen sollst Du ja die Funktion in eine Taylorreihe entwickeln und nach dem quadratischen Glied abbrechen. Quadratische Funktionen lassen sich dann leicht integrieren.

Mit Taylorreihen kennst Du Dich aus?

06.05.2015, 21:59

96MichelleMichi96

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also ich kenne das Prinzip der Taylor Reihe ja, aber habe das noch nicht bei eine "komplexeren" Funktion gemacht

habe mal die Strukur der Taylor Reihe als Bild hinzugefügt, in der Aufgabe steht bis zu 2 Ordnung, deswegen auch nur bis 2 Fakultät

ich muss jetzt als erstes meine Funktion 2 mal differenzieren smile

habe sigma und mu einfach eingesetzt smile

$\begin{eqnarray*} \int_{4}^{6} \!\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^-{\frac{(x-5)^2}{2} } \, dx \end{eqnarray*}$

07.05.2015, 17:58

96MichelleMichi96

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$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}e^-{\frac{(x-5)^2}{2}* \frac{-2(x-5)}{2} } \end{eqnarray*}$

der erste ausdurck nach dem e ist aber im Exponenten,wird aber irgendwie nicht dort angezeigt

07.05.2015, 20:21

Steffen Bühler

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Das passt schon mal!

07.05.2015, 20:43

96MichelleMichi96

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ich habe mal die 2 Ableitung auf ein Blatt geschrieben

07.05.2015, 20:52

Steffen Bühler

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Hier fehlt noch was. Denk an die Produktregel!

07.05.2015, 21:04

96MichelleMichi96

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so jetzt aber Big Laugh

edit : oh hätte noch das e ausklammern können smile

07.05.2015, 21:12

Steffen Bühler

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Prima! Du kannst das übrigens auch mit unserem hauseigenen Differenziertool prüfen.

07.05.2015, 21:21

96MichelleMichi96

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so jetzt muss ich doch für alle Ableitungen x= 0 einsetzen
für die Werte

f(xo)
f*(xo) und f''(xo) um das in die Taylor Reihen Entwicklung einzusetzen smile

07.05.2015, 21:30

Steffen Bühler

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Dann würdest Du die Taylorreihe an der Stelle x=0 entwickeln. Dort würde die Reihe am besten "passen".

Wir interessieren uns aber doch für eine andere Stelle! Welcher x0-Wert ist daher besser angebracht?

07.05.2015, 21:31

96MichelleMichi96

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hmm dann vllt an den Grenzen 6 & 4

07.05.2015, 21:37

Steffen Bühler

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Dann müsstest Du zwei Reihen entwickeln, das wäre etwas viel verlangt. Und wie willst Du dann das Integral ausdrücken?

Nimm lieber die Mitte, da dürften die Fehler nach links und rechts am geringsten sein.

07.05.2015, 21:40

96MichelleMichi96

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ok dann die Reihenentwicklung bei 5 ^^
habe noch nie einen Integral über eine Taylorreihenentwicklung berechnet smile

f(5) = 1 / (2pi)
f'(5) = 0

f''(5) = - (1 / (2pi))

07.05.2015, 21:47

Steffen Bühler

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Das Wurzelzeichen fehlt, sonst stimmt's.

Und nun stur in die Taylorformel einestzen, die Du ja schon gepostet hattest.

07.05.2015, 21:56

96MichelleMichi96

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arg stimmt die Wurzel ... habe die auf mein Blatt notiert aber beim tippen vergessen ><

soooo wenn ich das stumpfe einsetze, fällt die 1 Entwicklung weg da f'(x) = 0

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } - \frac{1}{4\pi} (x-5)^2 \end{eqnarray*}$

aber ich bin mir unsicher, ob das so richtig ist

........es könnte auch so sein, dass
wenn eine Ableitung null wird, wird diese nicht in der Reihenentwicklung genannt ..

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } - \frac{1}{\sqrt{2\pi} } (x-5) \end{eqnarray*}$

07.05.2015, 22:08

Steffen Bühler

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Die obere Formel ist fast richtig. Nur der Faktor vor dem quadratischen Term stimmt nicht. Es bleibt ja derselbe wie beim anderen, natürlich noch mit 2! im Nenner.

07.05.2015, 22:16

96MichelleMichi96

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soo jetzt aber

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi} } - \frac{1}{\sqrt{2\pi}*2! } (x-5)^2 \end{eqnarray*}$

kann man auch so ausdrücken

0.40 - 0.20 * (x-5)^2

0,20 * (x-5)^2

07.05.2015, 22:24

Steffen Bühler

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Bingo! Hier sind die zwei:

EDIT: Faktor 0,5 bei der e-Funktion war nicht dabei.

So. Und jetzt brauchen wir also die Fläche von 4 bis 6 da drunter. Ich schlage allerdings vor, das machen wir morgen, war schon recht viel heute abend,wenn auch erfolgreich.

07.05.2015, 22:27

96MichelleMichi96

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ja können wir auch morgen weiter machen smile

Danke für deine Hilfe schon mal bis hier her Freude

und wünsche dir eine erholsame Nacht

08.05.2015, 15:46

96MichelleMichi96

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soo, also ich denke mal ich muss jetzt die Taylor Reihe integrieren (dafür habe ich die ja gebildet ^^ )
mit dem Grenzen 6 bis 4 um die Fläche zu bekommen

$\begin{eqnarray*} \int_{4}^{6} \! \frac{1}{\sqrt{2\pi }} - \frac{1}{\sqrt{2\pi *2}}* (x-5)^2 dx \end{eqnarray*}$

08.05.2015, 15:51

Steffen Bühler

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In der Tat. Ist ja recht einfach. Den Faktor kannst Du ja vors Integral ziehen.

In dieser Formel ist Dir die 2 unter die Wurzel gerutscht.

08.05.2015, 16:10

96MichelleMichi96

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stimmt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi }} - \frac{1}{\sqrt{2\pi }*2}* \int_{4}^{6} \! (x-5)^2 dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi }} - \frac{1}{\sqrt{2\pi }*2}* [ 2* (x-5)] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi }} - \frac{1}{\sqrt{2\pi }*2}* [ 1+2] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2\pi }} - \frac{1}{\sqrt{2\pi }*2}* [ 3 ] \end{eqnarray*}$

also hmm

0.40- 0.200 * [ 3 ] = -0,1984

das kann aber nicht sein die Fläche muss positiv sein, da die oberhalb der x- Achse ist

oder ich hätte noch hier eine klammer setzen müssen

(0.40 - 0.200) * [ 3 ] = 0,60 smile

08.05.2015, 16:19

Steffen Bühler

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Da ist einiges schiefgelaufen.

Zum einen hast Du den Faktor nicht ausgeklammert, bevor Du ihn vors Integral gezogen hast, denn $\begin{align*} \frac{1}{\sqrt{2\pi }} - \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot 2} \cdot (x-5)^2 = \frac{1}{\sqrt{2\pi }} \cdot \left(1 - \frac12 \cdot (x-5)^2 \right) \end{align*}$

Zum andern scheinst Du nicht integriert, sondern differenziert zu haben.

08.05.2015, 16:37

96MichelleMichi96

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stimmt ich habe differenziert...

ich habe es mal ausführlich gemacht, damit man es besser nachvollziehen kann smile

trotzdem wundert mich hier wieder die negative Zahl

edit :

unten müsste stehen 0,2 - 0,132 = 0,067 smile

und dann ist auch die Fläche positiv

08.05.2015, 17:02

Steffen Bühler

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Kleiner Lapsus: die Stammfunktion der additiven Konstante $\begin{align*} \frac 1 {\sqrt{2 \pi}} \end{align*}$ ist nicht wieder $\begin{align*} \frac 1 {\sqrt{2 \pi}} \end{align*}$ , sondern...

Edit: sonst passt's.

08.05.2015, 17:04

96MichelleMichi96

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also

(x/ 2 pi ) gehört auf die linke Seite

das rechne ich nun aus

so ich verzichte mal darauf den Rechenweg erneut zu fotografieren,

Endergebnis 0,657 smile

08.05.2015, 17:15

Steffen Bühler

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Richtig. Etwas mehr zwar, aber das liegt am Runden, nehme ich an.

Gut, das Schraffieren dieser Fläche in Deiner ersten Skizze hast Du vielleicht schon erledigt.

Zum Rest: wie lautet der Wert der Literatur, also der korrekte Wert? Kannst Du dazu was sagen?

08.05.2015, 17:21

96MichelleMichi96

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ich denke die Fläche unter der Gauß Glockenkurve muss immer 1 sein smile

08.05.2015, 17:30

Steffen Bühler

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Das ist schon mal gut.

Weißt Du aber auch, wie groß die Fläche unter der Gaußkurve zwischen $\begin{align*} \mu - \sigma \end{align*}$ und $\begin{align*} \mu + \sigma \end{align*}$ ist? Das ist ebenfalls eine Zahl, die man kennen sollte.

Versuch's mal rauszubekommen.

08.05.2015, 17:37

96MichelleMichi96

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hmm die Fläche von mu - sigma und mu + sigma sind 68% der gesamtfläche

d.h. 0,68 ? smile

08.05.2015, 17:55

Steffen Bühler

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Perfekt!

Und nun auf die Zielgerade: was bedeutet das anschaulich?

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