Länge der Hypotenuse kleiner als Summe der Kathetenlängen

06.05.2015, 18:32

Carnivora

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Länge der Hypotenuse kleiner als Summe der Kathetenlängen

Meine Frage:
Hallo,
ich soll beweisen, dass kein rechtwinkliges Dreieck existiert,bei dem die Länge der Hypothenuse kleines als das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$ fache der Summe der Kathetenlängen ist.

Meine Ideen:
Da es darum geht etwas zu beweisen was nicht existiert gehe ich vom Gegenteil aus (es existiert oben beschriebenes Dreieck) und versuche einen Widerspruch zu finden.
Ein Dreieck ist genau dann rechtwinklig, wenn für die drei Seiten a,b,c des Dreiecks gilt: $\begin{eqnarray*} a^{2} +b^{2} =c^{2} \end{eqnarray*}$ (Umkehrung Satz des Pythagoras).
Für ein rechtwinkliges Dreieck (Einheitsdreieck?) mit a=1 und b= 1 folgt durch Pythagoras $\begin{eqnarray*} c={\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$ . Das ist durch die Wurzelschnecke auch bekannt.
Wenn ich nun $\begin{eqnarray*} a=1,b=1,c={\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$ in die in der Aufgabe beschriebenen Gleichung
$\begin{eqnarray*} c<\frac{1}{\sqrt{2} } *(a+b) \end{eqnarray*}$ einsetze folgt:
$\begin{eqnarray*} {\sqrt{2} }<\frac{1}{\sqrt{2} } *(1+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} {\sqrt{2} }<\frac{1}{\sqrt{2} } *(2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} {\sqrt{2} }<{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$ was ein Widerspruch ist!

Ich habe nur das Gefühl, dass ich nicht ganz da angekommen bin, wo ich sein sollte und wollte um eine Meinung und ein wenig Hilfe bitten.

06.05.2015, 18:51

HAL 9000

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RE: Länge der Hypotenuse kleiner als Summe der Kathetenlängen
Ja, offensichtlich hast du den Text nicht richtig logisch durchdrungen. unglücklich

unglücklich

"Kein rechtwinkliges Dreieck existiert, bei dem die Länge der Hypotenuse kleines als das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$ fache der Summe der Kathetenlängen ist."

kann man auch äquivalent umformulieren, ohne Negation:

"In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse größer oder gleich dem $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ fachen der Summe der Kathetenlängen."

Dein angegebenes Dreieck ist da KEIN Gegenbeispiel, sondern du triffst damit lediglich den Fall der Gleichheit (statt echt größer).

P.S.: Die Behauptung ist übrigens richtig, also verschwende lieber nicht zuviel Zeit mit der Suche nach Gegenbeispielen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.05.2015, 19:20

Carnivora

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Geht der Ansatz meines Beweises den wenigstens in die richtige Richtung? Ich bin sonst ziemlich ideenlos, wie ich dies beweisen soll. Meine ganzen Beweise landen immer nur bei der Gleichheit :/
Eine Ausnahme ist folgendes:
$\begin{eqnarray*} c^{2}\geq \frac{1}{\sqrt{2} }*(a^{2}+b^{2}) \end{eqnarray*}$ mit meinen Werten eingesetzt ( $\begin{eqnarray*} a=1,b=1,c={\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$ ) ergibt sich $\begin{eqnarray*} 2\geq \sqrt{2} \end{eqnarray*}$
allerdings bezweifel ich, dass es in die richtige Richtung geht

06.05.2015, 19:24

HAL 9000

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Spezielle Werte einsetzen mag reichen, wenn du ein Gegenbeispiel suchst. Für einen Beweis, der für alle rechtwinkligen Dreiecke gelten soll, ist das schlicht untauglich.

06.05.2015, 19:56

Carnivora

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$\begin{eqnarray*} c\geq \frac{1}{\sqrt{2} } *(a+b) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} 2c^{2}\geq a^2+b^2 \end{eqnarray*}$ umzustellen ist wohl genauso lächerlich

06.05.2015, 20:03

HAL 9000

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Was meinst du hier mit "umstellen"? Eine äquivalente Umformung ist das jedenfalls nicht.

Überleg doch mal: Du willst $\begin{align*} c \geq \frac{1}{\sqrt{2}}(a+b) \end{align*}$ nachweisen und hast (im wesentlichen) die Identität $\begin{align*} c^2=a^2+b^2 \end{align*}$ (Pythagoras) zur Verfügung. Da wäre es doch erstmal naheliegend, die Behauptung äquivalent umzuformen, das wäre hier eine Quadrierung.

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06.05.2015, 20:07

Carnivora

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$\begin{eqnarray*} c\geq \frac{1}{\sqrt{2}}(a+b) \end{eqnarray*}$
-> $\begin{eqnarray*} c\geq \frac{1}{\sqrt{2}}a \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}}b \end{eqnarray*}$ |^2
-> $\begin{eqnarray*} c^2\geq \frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2 \end{eqnarray*}$ |*2
-> $\begin{eqnarray*} 2c^{2}\geq a^2+b^2 \end{eqnarray*}$

wäre meine Umformung/Umstellung gewesen

06.05.2015, 20:35

HAL 9000

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Die binomische Formel lautet nicht $\begin{align*} (a+b)^2 = a^2+b^2 \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} (a+b) ^2 = a^2+2ab+b^2 \end{align*}$ . unglücklich

unglücklich

06.05.2015, 22:05

Carnivora

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unausfmerksamkeit gepaart mit wachsender Frustration

$\begin{eqnarray*} c^2\geq \frac{1}{2}a^2+ab+\frac{1}{2}b^2 \end{eqnarray*}$ |*2
$\begin{eqnarray*} 2c^2\geq a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray*}$

06.05.2015, 23:01

HAL 9000

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Ja, das ist die äquivalent umgeformte Behauptung, d.h., das ist zu beweisen. Und wenn du jetzt links $\begin{align*} c^2=a^2+b^2 \end{align*}$ einsetzt, dann entsteht ja vielleicht eine Ungleichung, deren Gültigkeit du erkennst (oder auch nicht).

07.05.2015, 00:19

Carnivora

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Wenn ich dies einsetzte und umforme erhalte ich
$\begin{eqnarray*} a^2+b^2 \geq 2ab \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} c^2 \geq 2ab \end{eqnarray*}$
Auf die umgeformte Ungleichung/Behauptung bedeutet dass dann, dass $\begin{eqnarray*} 2c^2 \geq a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray*}$ bestätigt wird durch obige Tatsache und dadurch, dass durch $\begin{eqnarray*} c^2=a^2+b^2 \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} 2c^2 \geq a^2+b^2 \end{eqnarray*}$ gelten muss

07.05.2015, 08:27

Leopold

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Zitat:

Original von Carnivora
Auf die umgeformte Ungleichung/Behauptung bedeutet dass dann, dass $\begin{eqnarray*} 2c^2 \geq a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray*}$ bestätigt wird durch obige Tatsache und dadurch, dass durch $\begin{eqnarray*} c^2=a^2+b^2 \end{eqnarray*}$ gilt, dass $\begin{eqnarray*} 2c^2 \geq a^2+b^2 \end{eqnarray*}$ gelten muss

Was willst du damit sagen? Du sollst doch nicht $\begin{align*} 2c^2 \geq a^2 + b^2 \end{align*}$ folgern, sondern $\begin{align*} c^2 \geq 2ab \end{align*}$ , wie du zuvor korrekt umgeformt hast.

Von vorne. Einmal angenommen, du hättest $\begin{align*} c^2 \geq 2ab \end{align*}$ gezeigt, dann könntest du schließen:

$\begin{align*} c^2 \geq 2ab \end{align*}$

$\begin{align*} c^2 + c^2 \geq 2ab + c^2 \end{align*}$

$\begin{align*} 2c^2 \geq 2ab + a^2 + b^2 \end{align*}$

$\begin{align*} 2c^2 \geq (a+b)^2 \end{align*}$

$\begin{align*} c^2 \geq \frac{1}{2} \cdot (a+b)^2 \end{align*}$

$\begin{align*} c \geq \sqrt{\frac{1}{2}} \cdot (a+b) \end{align*}$

Jede Zeile oben ergibt sich durch Implikation aus der Vorgängerzeile. Somit wäre der Beweis erbracht.
Jetzt fehlt also noch der Anfang: Du mußt nachweisen, daß in einem rechtwinkligen Dreieck $\begin{align*} c^2 \geq 2ab \end{align*}$ gilt. Tip: Noch einmal den Pythagoras verwenden, umformen und an die binomischen Formeln denken. Es ist nicht mehr weit zum Ziel.

07.05.2015, 08:51

HAL 9000

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Zumal Carnivora am Beginn des letzten Beitrags schon bei

Zitat:

Original von Carnivora
Wenn ich dies einsetzte und umforme erhalte ich
$\begin{eqnarray*} a^2+b^2 \geq 2ab \end{eqnarray*}$

war...

07.05.2015, 09:39

Carnivora

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$\begin{eqnarray*} c^2 \geq 2ab \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^2+b^2\geq 2ab \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2a^2+2b^2\geq 2ab+a^2+b^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^2+b^2\geq \frac{1}{2} a^2+ab+\frac{1}{2} b^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c^2\geq \frac{1}{2} a^2+ab+\frac{1}{2} b^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c^2\geq \frac{1}{2} (a^2+2ab+b^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c^2\geq \frac{1}{2} (a+b)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c \geq \frac{1}{\sqrt{2} } (a+b) \end{eqnarray*}$

(?)

07.05.2015, 09:46

HAL 9000

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Das ist im wesentlichen nur die Wiederholung dessen, was Leopold angeführt hat - leider noch mit ein paar Fehlern zwischendurch (vergessene Quadrate).

Aber, zum bereits mehrfach wiederholten Mal: Du musst den Startpunkt dieser Überlegungen, also $\begin{align*} a^2+b^2\geq 2ab \end{align*}$ noch nachweisen, damit die gesamte Umformungskette als Beweis funktioniert!!!

D.h. wie kann man $\begin{align*} a^2+b^2\geq 2ab \end{align*}$ für beliebig gewählte Kathetenlängen $\begin{align*} a,b \end{align*}$ beweisen? (Und lass bloß Hypotenuse c aus dem Spiel, die hilft bei dieser Frage überhaupt nicht.)

07.05.2015, 09:57

Carnivora

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$\begin{eqnarray*} a^2+b^2 \geq2 ab \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^2-2ab+b^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a-b)^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a-b \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a \geq b \end{eqnarray*}$

07.05.2015, 10:04

HAL 9000

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Das ist ja wie gestern Barcelona - Bayern:

Bis zur 77. Minute (bei dir 3.Zeile) ein hoffnungsvolles Bangen, und dann anschließend der totale Untergang. unglücklich

unglücklich

Konkret: $\begin{align*} (a-b)^2\geq 0 \end{align*}$ ist immer erfüllt, da das Quadrat einer reellen Zahl stets nichtnegativ ist, d.h. an der Stelle bist du bereits fertig.

Die nachfolgenden beiden Zeilen sind einfach nur himmelschreiender Unsinn - weg damit.

07.05.2015, 11:06

ilja

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Zitat:

Original von HAL 9000
Da wäre es doch erstmal naheliegend, die Behauptung äquivalent umzuformen, das wäre hier eine Quadrierung.

Hi ich muss mal was einwerfen:

Leider ist diese Vorgehensweise streng genommen falsch.
Eine Gleichung zu quadrieren stellt keine äquivalente Umformung dar.

07.05.2015, 11:26

Iorek

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So berechtigt der Gedanke bei allgemeinen (Un-)Gleichungen ist, so ist der Einwand hier überflüssig. Da es sich bei $\begin{eqnarray*} a,b,c \end{eqnarray*}$ um positive Zahlen (als Länge von Dreiecksseiten) handelt ist natürlich auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}}(a+b) \end{eqnarray*}$ positiv. Damit ist quadrieren dieser Ungleichung eine Äquivalenzumformung.

07.05.2015, 11:38

ilja

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Mir fällt aber auch nur dieser Beweis weg mit quadrieren ein :

(a^2+b^2)^1/2 < 1/(2^1/2)*(a+b) //*2^1/2

(2a^2+2b^2)^1/2<a+b //^2

2a^2+2b^2 <a^2+2ab+b^2 //-a^2-b^2

a^2+b^2 <2ab //-2ab

a^2-2ab+b^2 <0

(a-b)^2<0

(a-b)^2 ist aber >=0

q.e.d.

07.05.2015, 11:40

Iorek

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Warum kopierst du die fertige Lösung von oben denn jetzt noch einmal? verwirrt

verwirrt

07.05.2015, 11:43

ilja

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Oh sorry ich habe nur den Beweis durch Widerspruch gesehen ...

07.05.2015, 11:49

Iorek

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Wie der Beweis letztendlich funktioniert wurde doch oben schon gesagt...mir erschließt sich gerade nicht deine Absicht bzw. was du damit aussagen willst.

07.05.2015, 11:52

ilja

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OK schon klar sorry

07.05.2015, 12:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von ilja
Leider ist diese Vorgehensweise streng genommen falsch.
Eine Gleichung zu quadrieren stellt keine äquivalente Umformung dar.

Zu kurz gedacht: a und b als Kathetenlängen sind positive Zahlen, also ist auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{2}}(a+b) \end{eqnarray*}$ zwingend positiv.

Eingeschränkt auf den positiven Definitionsbereich ist $\begin{eqnarray*} x\mapsto x^2 \end{eqnarray*}$ aber eine injektive Funktion, damit umkehrbar eindeutig, was die Quadrierung hier im vorliegenden Fall durchaus zu einer äquivalenten Umformung macht.

EDIT: Ups, hab den Beitrag von Iorek gar nicht gesehen, sondern sofort geantwortet, nachdem ich die (vermeintliche) Belehrung gelesen hatte. Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.05.2015, 18:30

Leopold

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Und jetzt gebe ich noch meinen Senf dazu. Ich will die "Barcelona-Bayern"-Bemerkung von HAL 9000 aufgreifen und durch ein Beispiel darlegen, warum es ab der vierten Zeile falsch ist.

Nehmen wir $\begin{align*} a = 3 \end{align*}$ und $\begin{align*} b = 8 \end{align*}$ . Dann ist

$\begin{align*} (3 - 8)^2 \geq 0 \end{align*}$

wahr, denn links steht $\begin{align*} 25 \end{align*}$ . Dagegen ist

$\begin{align*} 3 - 8 \geq 0 \end{align*}$

falsch, denn links steht $\begin{align*} -5 \end{align*}$ .

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