Länge der Hypotenuse kleiner als Summe der Kathetenlängen |
06.05.2015, 18:32 | Carnivora | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Länge der Hypotenuse kleiner als Summe der Kathetenlängen Hallo, ich soll beweisen, dass kein rechtwinkliges Dreieck existiert,bei dem die Länge der Hypothenuse kleines als das fache der Summe der Kathetenlängen ist. Meine Ideen: Da es darum geht etwas zu beweisen was nicht existiert gehe ich vom Gegenteil aus (es existiert oben beschriebenes Dreieck) und versuche einen Widerspruch zu finden. Ein Dreieck ist genau dann rechtwinklig, wenn für die drei Seiten a,b,c des Dreiecks gilt: (Umkehrung Satz des Pythagoras). Für ein rechtwinkliges Dreieck (Einheitsdreieck?) mit a=1 und b= 1 folgt durch Pythagoras . Das ist durch die Wurzelschnecke auch bekannt. Wenn ich nun in die in der Aufgabe beschriebenen Gleichung einsetze folgt: was ein Widerspruch ist! Ich habe nur das Gefühl, dass ich nicht ganz da angekommen bin, wo ich sein sollte und wollte um eine Meinung und ein wenig Hilfe bitten. |
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06.05.2015, 18:51 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Länge der Hypotenuse kleiner als Summe der Kathetenlängen Ja, offensichtlich hast du den Text nicht richtig logisch durchdrungen. "Kein rechtwinkliges Dreieck existiert, bei dem die Länge der Hypotenuse kleines als das fache der Summe der Kathetenlängen ist." kann man auch äquivalent umformulieren, ohne Negation: "In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse größer oder gleich dem fachen der Summe der Kathetenlängen." Dein angegebenes Dreieck ist da KEIN Gegenbeispiel, sondern du triffst damit lediglich den Fall der Gleichheit (statt echt größer). P.S.: Die Behauptung ist übrigens richtig, also verschwende lieber nicht zuviel Zeit mit der Suche nach Gegenbeispielen. |
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06.05.2015, 19:20 | Carnivora | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Geht der Ansatz meines Beweises den wenigstens in die richtige Richtung? Ich bin sonst ziemlich ideenlos, wie ich dies beweisen soll. Meine ganzen Beweise landen immer nur bei der Gleichheit :/ Eine Ausnahme ist folgendes: mit meinen Werten eingesetzt () ergibt sich allerdings bezweifel ich, dass es in die richtige Richtung geht |
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06.05.2015, 19:24 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Spezielle Werte einsetzen mag reichen, wenn du ein Gegenbeispiel suchst. Für einen Beweis, der für alle rechtwinkligen Dreiecke gelten soll, ist das schlicht untauglich. |
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06.05.2015, 19:56 | Carnivora | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
zu umzustellen ist wohl genauso lächerlich |
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06.05.2015, 20:03 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was meinst du hier mit "umstellen"? Eine äquivalente Umformung ist das jedenfalls nicht. Überleg doch mal: Du willst nachweisen und hast (im wesentlichen) die Identität (Pythagoras) zur Verfügung. Da wäre es doch erstmal naheliegend, die Behauptung äquivalent umzuformen, das wäre hier eine Quadrierung. |
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06.05.2015, 20:07 | Carnivora | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
-> + |^2 -> |*2 -> wäre meine Umformung/Umstellung gewesen |
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06.05.2015, 20:35 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die binomische Formel lautet nicht , sondern . |
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06.05.2015, 22:05 | Carnivora | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
unausfmerksamkeit gepaart mit wachsender Frustration |*2 |
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06.05.2015, 23:01 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das ist die äquivalent umgeformte Behauptung, d.h., das ist zu beweisen. Und wenn du jetzt links einsetzt, dann entsteht ja vielleicht eine Ungleichung, deren Gültigkeit du erkennst (oder auch nicht). |
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07.05.2015, 00:19 | Carnivora | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn ich dies einsetzte und umforme erhalte ich bzw. Auf die umgeformte Ungleichung/Behauptung bedeutet dass dann, dass bestätigt wird durch obige Tatsache und dadurch, dass durch gilt, dass gelten muss |
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07.05.2015, 08:27 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was willst du damit sagen? Du sollst doch nicht folgern, sondern , wie du zuvor korrekt umgeformt hast. Von vorne. Einmal angenommen, du hättest gezeigt, dann könntest du schließen: Jede Zeile oben ergibt sich durch Implikation aus der Vorgängerzeile. Somit wäre der Beweis erbracht. Jetzt fehlt also noch der Anfang: Du mußt nachweisen, daß in einem rechtwinkligen Dreieck gilt. Tip: Noch einmal den Pythagoras verwenden, umformen und an die binomischen Formeln denken. Es ist nicht mehr weit zum Ziel. |
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07.05.2015, 08:51 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zumal Carnivora am Beginn des letzten Beitrags schon bei
war... |
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07.05.2015, 09:39 | Carnivora | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
(?) |
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07.05.2015, 09:46 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist im wesentlichen nur die Wiederholung dessen, was Leopold angeführt hat - leider noch mit ein paar Fehlern zwischendurch (vergessene Quadrate). Aber, zum bereits mehrfach wiederholten Mal: Du musst den Startpunkt dieser Überlegungen, also noch nachweisen, damit die gesamte Umformungskette als Beweis funktioniert!!! D.h. wie kann man für beliebig gewählte Kathetenlängen beweisen? (Und lass bloß Hypotenuse c aus dem Spiel, die hilft bei dieser Frage überhaupt nicht.) |
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07.05.2015, 09:57 | Carnivora | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
07.05.2015, 10:04 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist ja wie gestern Barcelona - Bayern: Bis zur 77. Minute (bei dir 3.Zeile) ein hoffnungsvolles Bangen, und dann anschließend der totale Untergang. Konkret: ist immer erfüllt, da das Quadrat einer reellen Zahl stets nichtnegativ ist, d.h. an der Stelle bist du bereits fertig. Die nachfolgenden beiden Zeilen sind einfach nur himmelschreiender Unsinn - weg damit. |
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07.05.2015, 11:06 | ilja | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hi ich muss mal was einwerfen: Leider ist diese Vorgehensweise streng genommen falsch. Eine Gleichung zu quadrieren stellt keine äquivalente Umformung dar. |
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07.05.2015, 11:26 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So berechtigt der Gedanke bei allgemeinen (Un-)Gleichungen ist, so ist der Einwand hier überflüssig. Da es sich bei um positive Zahlen (als Länge von Dreiecksseiten) handelt ist natürlich auch positiv. Damit ist quadrieren dieser Ungleichung eine Äquivalenzumformung. |
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07.05.2015, 11:38 | ilja | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mir fällt aber auch nur dieser Beweis weg mit quadrieren ein : (a^2+b^2)^1/2 < 1/(2^1/2)*(a+b) //*2^1/2 (2a^2+2b^2)^1/2<a+b //^2 2a^2+2b^2 <a^2+2ab+b^2 //-a^2-b^2 a^2+b^2 <2ab //-2ab a^2-2ab+b^2 <0 (a-b)^2<0 (a-b)^2 ist aber >=0 q.e.d. |
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07.05.2015, 11:40 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Warum kopierst du die fertige Lösung von oben denn jetzt noch einmal? |
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07.05.2015, 11:43 | ilja | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh sorry ich habe nur den Beweis durch Widerspruch gesehen ... |
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07.05.2015, 11:49 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie der Beweis letztendlich funktioniert wurde doch oben schon gesagt...mir erschließt sich gerade nicht deine Absicht bzw. was du damit aussagen willst. |
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07.05.2015, 11:52 | ilja | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
OK schon klar sorry |
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07.05.2015, 12:09 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zu kurz gedacht: a und b als Kathetenlängen sind positive Zahlen, also ist auch zwingend positiv. Eingeschränkt auf den positiven Definitionsbereich ist aber eine injektive Funktion, damit umkehrbar eindeutig, was die Quadrierung hier im vorliegenden Fall durchaus zu einer äquivalenten Umformung macht. EDIT: Ups, hab den Beitrag von Iorek gar nicht gesehen, sondern sofort geantwortet, nachdem ich die (vermeintliche) Belehrung gelesen hatte. |
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07.05.2015, 18:30 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und jetzt gebe ich noch meinen Senf dazu. Ich will die "Barcelona-Bayern"-Bemerkung von HAL 9000 aufgreifen und durch ein Beispiel darlegen, warum es ab der vierten Zeile falsch ist. Nehmen wir und . Dann ist wahr, denn links steht . Dagegen ist falsch, denn links steht . |
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