h-Methode und Betragsfunktion

06.05.2015, 23:30

Kel

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h-Methode und Betragsfunktion

"Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Differenzierbarkeit an der Stelle x0 = 0.
Benutzen Sie dafur nur die Definition der Differenzierbarkeit (keine Ableitungsregeln!). Wenn
eine Funktion differenzierbar in x0 ist, berechnen Sie den zugehörigen Grenzwert. Anderenfalls
begründen Sie, warum dieser Grenzwert nicht existieren kann."

Eine der gegebenen Funktionen ist die Betragsfunktion f(x) = |x| und Stelle x0 = 0.

Nach lesen meines Skriptes (http://www.ti.inf.uni-due.de/fileadmin/p.../folien-2x2.pdf) auf Seite 77 bin ich zu folgender Rechnung gekommen:

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}<br /> <br /> = \frac{|x+h| - |x|}{h}<br /> <br /> = \frac{|0+h| - |0|}{h}<br /> <br /> = \frac{|h|}{h}<br /> \end{eqnarray*}$
Ist das soweit richtig? Ich weiss, dass für x0 = 0 die Betragsfunktion nicht definiert ist, aber wie zeige ich das?
Und als generelle Ableitung ist das ja $\begin{eqnarray*} \frac{x}{|x|} \end{eqnarray*}$ , wie soll man das denn rauskriegen mit der h-Methode?

06.05.2015, 23:45

Rbn

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Mal ganz langsam:
Zunächst ist die Betragsfunktion auch für x=0 definiert, da der Betrag von 0 logischerweise 0 ist.
Nun zu der Definition von differenzierbar:

"Eine Funktion f ist an der Stelle $\begin{align*} x=x_0 \end{align*}$ differenzierbar, wenn:
1. f(x) in der Umgebung von $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ definiert ist. (Dies ist der Fall, da |0|=0 und sowohl der rechtsseitig als auch der linksseitige Grenzwert existiert.) und
2. der Grenzwert $\begin{align*} \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f({x_0} + h) - f({x_0})}}{h} \end{align*}$ existiert."

Zu deiner Rechnung:

Das ist soweit richtig. Der Grenzwert mit $\begin{align*} \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{|h|}}{h} \end{align*}$ existiert nicht, da nun der Grenzwert von null durch den Grenzwert null geteilt werden würde, was natürlich nicht geht.

Nebeninfo: An allen anderen stellen für x ist f(x)=|x| differenzierbar. Für x<0 ergibt f'(x)=(-1) und für x>0 ergibt sich für f'(x)=1

06.05.2015, 23:50

wopi

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siehe unten!

06.05.2015, 23:59

wopi

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Die Aussage, dass der Grenzwert für h->0 von \h\ / h nicht existiert, ist richtig.

Die Begründung, dass dies daran liege, dass die Grenzwerte im Zähler und im Nenner beide gleich 0 sind, ist falsch: (letzteres ist auch bei h/h der Fall und dieser Grenzwert existiert und ist =1!

Die Begründung für die Aussage in Zeile 1:

der linksseitige GW von \h\ / h ist -1, der rechtsseitige 1.

Der Grenzwert existiert aber genau dann, wenn die beiden einseitigen GW übereinstimmen!

07.05.2015, 00:03

Rbn

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Stimmt, da war war. Wobei $\begin{align*} 1 = \frac{h}{h} \ne \frac{{|h|}}{h} = \pm 1 \end{align*}$ gilt.

Das tut weh, hab ich glatt die zweiseitigen Grenzwerte verschwitzt. Verzeiht' is scho spät Gott

Gott

07.05.2015, 00:04

Kel

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Danke für deine Antwort smile

smile

, mit "Betrag von x0 = 0 ist nicht definiert" meinte ich die Differenzierbarkeit der Funktion an diesem Punkt.

Da ich bei f(x0 + h) ja den rechtsseitigen Grenzwert betrachte, ist h positiv, also kann ich die Betragsstriche auch weglassen. Damit könnte ich doch die beiden h wegkürzen und bekäme 1 raus?
Wahrscheinlich habe ich da einen großen Denkfehler verwirrt

verwirrt

.

Also wäre meine Rechnung soweit richtig und da man durch 0 nicht teilen kann/darf/Undefined Behaviour ist die Funktion bei Punkt x0 = 0 nicht definiert und somit existiert auch kein Grenzwert?

Ich habe auch Aufgabe 10b gerechnet, Funktion dort ist:
$\begin{eqnarray*} g(x) = 3x - 1 \end{eqnarray*}$
Für die Überprüfung auf Differenzierbarkeit muss ich ja sowohl links- als auch rechtsseitigen Grenzwert berechnen und schauen, ob sie übereinstimmen.

Linksseitiger Grenzwert:
$\begin{eqnarray*} <br /> \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}<br /> <br /> \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{3(x+h) - 1 - (3(x) - 1)}{h}<br /> <br /> \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{3x + 3h - 1 - 3x + 1)}{h}<br /> <br /> \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{3h}{h}<br /> <br /> \lim\limits_{h \rightarrow 0} 3<br /> \end{eqnarray*}$

Rechtsseitiger Grenzwert:
$\begin{eqnarray*} <br /> \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x-h) - f(x)}{h}<br /> <br /> \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{3(x-h) - 1 - (3(x) - 1)}{h}<br /> <br /> \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{3x - 3h - 1 - 3x + 1)}{h}<br /> <br /> \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{-3h}{h}<br /> <br /> \lim\limits_{h \rightarrow 0} -3<br /> \end{eqnarray*}$

Damit wäre die Funktion aber auch nicht definiert an der Stelle x0 = 0, was ja bei so einer Funktion nicht sein kann, die Ableitung ist ja 3. Ich müsste also eigentlich den rechtsseitigen Grenzwert weglassen, aber ich muss doch beide berechnen dachte ich bis jetzt? Hammer

Hammer

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07.05.2015, 00:13

wopi

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du darfst aber nicht einfach 0+h betrachten, sondern auch 0-h , wenn du schon h positiv voraussetzt!

07.05.2015, 00:15

Kel

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Zitat:

Original von wopi
du darfst aber nicht einfach 0+h betrachten, sondern auch 0-h , wenn du schon h positiv voraussetzt!

Für Aufgabe 10a oder 10b?

Für die Betragsfunktion habe ich einmal den linksseitigen (1) und einmal den rechtsseitigen (-1) Grenzwert berechnet, diese stimmen nicht überein, also ist bei x0 = 0 die Funktion nicht differenzierbar und es gibt keinen Grenzwert an der Stelle.

Bei 10b mit g(x) sollte das aber für x0 = 0 doch differenzierbar sein? Wieso bekomme ich da einmal linksseitig 3 und rechtsseitig -3 heraus?

07.05.2015, 00:24

wopi

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erst einmal steht bei dir oben die Rechnung für den rechtseitigen Grenzwert und umgekehrt.

unten (also beim linksseitigen GW) muss im Nenner x -x0 stehen.
beim linksseitigen GW ist aber x<x0! im Nenner muss also -h stehen (bei dir ist ja h<0)!

Dann sind die einseitigen GW beide gleich 3 und damit der GW =3.

07.05.2015, 00:25

wopi

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Zitat:

Original von wopi
erst einmal steht bei dir oben die Rechnung für den rechtseitigen Grenzwert und umgekehrt.

unten (also beim linksseitigen GW) muss im Nenner x -x0 stehen.
beim linksseitigen GW ist aber x<x0! im Nenner muss also -h stehen (bei dir ist ja h<0)!

Dann sind die einseitigen GW beide gleich 3 und damit der GW =3.

in JEDEM Fall muss x+h und x-h betrachtet werden, wenn man h positiv voraussetzt!

07.05.2015, 00:30

Kel

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Ohhh ... das kommt davon, wenn im Mathe-Skript nur der linksseitige Grenzwert gezeigt wird. Dann kommt natürlich beide Male 3 heraus, macht Sinn.

Also hab ich links- und rechtsseitig verwechselt?
Linksseitig also x-h und rechtsseitig x+h wäre dann richtig?

Kurze Frage noch zu meiner Aufgabenstellung - "Wenn eine Funktion differenzierbar in x0 ist, berechnen Sie den zugehörigen Grenzwert."
Ist der Grenzwert bei Aufgabe 10b mit g(x) dann einfach '3'?
Hatte ich überlesen:
Dann sind die einseitigen GW beide gleich 3 und damit der GW =3.

Danke für die ganze Hilfe, jetzt bin ich etwas schlauer was das Thema angeht smile

smile

.

07.05.2015, 01:01

Captain Kirk

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Wieso betrachtet ihr hier links-und rechtsseitigen Grenzwert?

Die Frage ist: Existiert der Grenzwert oder nicht.

Kann man den bestimmen, alles gut.

Um zu zeigen, dass er nicht existiert kann man den links- und rechtsseitigen Grenzwert betrachten, da gibt's aber auch noch andere Möglichkeiten.

07.05.2015, 01:08

Kel

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Noch eine kurze Zwischenfrage, die mir grade beim Rechnen von 10c aufgefallen ist.

h(x) =
1, falls x > 0
0, falls x = 0
-1, falls x < 0

Wenn ich jetzt f(x+h) - f(x) / h ausrechnen will, muss ich ja "x+h" einsetzen.
Jetzt hatte ich folgende 2 Überlegungen:

Rechtsseitiger Grenzwert
1# $\begin{eqnarray*} x0 = 0 \end{eqnarray*}$ , also schaue ich in der Fallunterscheidung nach, sehe "0, falls x= 0" und habe damit " $\begin{eqnarray*} \frac{0+h - 0}{h} \end{eqnarray*}$ "=> $\begin{eqnarray*} \frac{h}{h} \end{eqnarray*}$ => 1
2# $\begin{eqnarray*} x0 = 0 und h > 0 \end{eqnarray*}$ , also insgesamt $\begin{eqnarray*} > 0 \end{eqnarray*}$ , also schaue ich in der Fallunterscheidung nach, sehe "1, falls x > 0" und habe damit " $\begin{eqnarray*} \frac{1+h - 0}{h} \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} \frac{1+h}{h} \end{eqnarray*}$ => ???

Die Funktion sollte nicht differenzierbar sein bei x0 = 0, also sollte entweder was unterschiedliches bei rauskommen bei den Grenzwerten oder man muss durch h teilen, ohne es kürzen zu können, was ja teilen durch 0 wäre und damit nicht definiert = nicht differenzierbar an der Stelle.

Kann mich jemand erleuchten? Prost

Prost

07.05.2015, 01:08

Rbn

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Ein beidseitiger Grenzwert existiert ausschließlich dann, wenn der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert BEIDE existieren und gleich sind. Sind sie das nicht, wie in diesem falle, dann existiert er nicht.

Die Änderungsrate ist bei der zusammengesetzten Funktion durchgehend 0, also sind die Grenzwerte von h'(x) um x=0 ebenfalls 0 und damit ist die Funktion von daher differenzierbar, allerdings ist die Bedingung der Stetigkeit nicht erfüllt h(x) ist nicht stetig und die links- und rechtsseitigen Grenzwerte von h(x) in der Umgebung von x=0 sind nicht gleich, von daher ist h(x) da nicht Differenzierbar.

07.05.2015, 01:09

wopi

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@Captain Kirk:
Die Betragsfunktion kann man als 'abschnittsweise definierte Funktion auffassen.

Die Betrachtung der einseitigen GW ist in solchen Fällen nach meiner Meinung die einsichtigste Methode, wenn jemand Verständnisschwierigkeiten hat!!!

Wenn du es besser weißt, erwarte ich einen Vorschlag!!??????

07.05.2015, 01:16

wopi

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht könnte ich dir antworten, wenn ich Aufgabe 10c kennen würde.
Ich verstehe nämlich nicht ganz, was du sagen willst!

07.05.2015, 01:22

Captain Kirk

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@wopi:

Zitat:

Die Betrachtung der einseitigen GW ist in solchen Fällen nach meiner Meinung die einsichtigste Methode, wenn jemand Verständnisschwierigkeiten hat!!!

Ich bin der Meinung, dass einseitige Grenzwerte dem verständnis eher hinderlich sind, weil sie i.d.R. nur sehr schwammig eingeführt werden.
Und ich habe nicht gesagt, dass man die nicht verwenden kann, ich habe gesagt man kann auch anders rangehen.
Was aber dem Verständnis nicht hilft, ist es mit einseitigen Grenzwerten an Funktion ranzugehen, die differenzierbar sind, und das ist hier passiert.

Zitat:

Wenn du es besser weißt, erwarte ich einen Vorschlag!!??????

Ich erwarte hier auf der Seite schon lang nichts mehr. Früher hätte ich mal erwartet, dass Sätze mit einem Satzzeichen beeendet werden, da hätte ich auch den kürzlich verstorbenen Terry Pratchett zitiert.

07.05.2015, 01:26

wopi

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Ich bin der Meinung dass 'es geht auch anders' (und das war es) die Zeit dessen verschwendet, der die Frage gestellt hat! (Normalerweise hätte ich 3 ! gesetzt, aber ich will dich nicht weiter zum Labern veranlassen).

07.05.2015, 01:27

Kel

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Zitat:

Original von wopi
Vielleicht könnte ich dir antworten, wenn ich Aufgabe 10c kennen würde.
Ich verstehe nämlich nicht ganz, was du sagen willst!

Ja das kann um die Uhrzeit gut sein smile

smile

, Danke für deine Geduld.
Aufgabe ist hier: http://www.ti.inf.uni-due.de/fileadmin/p...ungsblatt04.pdf

Meine Überlegung war: da x+h ja 0+ etwas positives (da h>0) ist, setzt man x > 0 in die Fallunterscheidung ein und erhält somit 1.
Damit hätte ich für f(x+h) - f(x) / h dann 1+h-0 / h, was 1+h/h wäre.
Wenn ich das weiterverfolge bekomme ich für x+h die 2 heraus und für x-h die -2. Allerdings habe ich 1+h/h vereinfacht mit 1/h + h/h = 1^-h + h/h = 1+1 = 2. Hab ich da einen Rechenfehler?

Aber da bin ich mir wie gesagt nicht wirklich sicher, darum frage ich lieber nochmal hier nach.

07.05.2015, 01:48

Captain Kirk

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Sorry kel, für die Zwischenrufe.

Zitat:

Ich bin der Meinung dass 'es geht auch anders' (und das war es) die Zeit dessen verschwendet, der die Frage gestellt hat! (Normalerweise hätte ich 3 ! gesetzt, aber ich will dich nicht weiter zum Labern veranlassen).

Und ich bin der Meinung, dass du, lieber wopi, den Fragesteller in die falsche Richtung führst. Gratuliere übrigens dazu, dass du damit den wesentlichen Teil meines Posts ignorierst um einen Rant loszulassen.

Man schaut ob der Grenzwert existiert.
Tut er das, ist es gut.
Hat man Probleme, das zu zeigen, dann und erst dann (dass ist mein wesentlicher Punkt), versucht man zu zeigen, dass er nicht existiert. Das kann, muss man aber nicht, mit einseitigen Grenzwerten machen.

Bei der c) könnte man z.B. schlicht und einfach argumentieren, dass die Funktion nicht differnzierbar bei 0 ist, weil sie nicht stetig bei 0 ist.

07.05.2015, 01:50

Kel

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Zitat:

Original von Captain KirkBei der c) könnte man z.B. schlicht und einfach argumentieren, dass die Funktion nicht differnzierbar bei 0 ist, weil sie nicht stetig bei 0 ist.

Ich muss allerdings mit der Definition aus meinem Skript arbeiten (Benutzen Sie dafur nur die Definition der Differenzierbarkeit), sprich h-Methode (Seite 77, im Startpost verlinkt). smile

smile

07.05.2015, 01:58

wopi

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Für x=0 ist f(x+h) = 0 +h =h
der rsGW ist also 1

07.05.2015, 02:10

Kel

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Zitat:

Original von wopi
Für x=0 ist f(x+h) = 0 +h =h
der rsGW ist also 1

Bei 10c?

Das würde ja bedeuten für rsGW:
$\begin{eqnarray*} <br /> \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{0+h - 0}{h} = \frac{h}{h} = 1<br /> \end{eqnarray*}$

Und für den lsGW:
$\begin{eqnarray*} <br /> \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x-h) - f(x)}{-h} = \frac{0-h - 0}{-h} = \frac{-h}{-h} = \frac{h}{h} = 1<br /> \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

07.05.2015, 02:14

Captain Kirk

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@kel: Wieso arbeitest du dann mit einseitigen Grenzwerten. Die sehe ich in deinem Skript nirgends. (Im Gegensatz zu meinem Stetigkeitsargument, dass direkt nach der Definition als Bemerkung steht.)

Noch ein Alternativvorschlag:
Es ist $\begin{eqnarray*} |\frac{f(0+h)-f(0)}{h}|= |\frac{f(h)}{h}| =1/h \end{eqnarray*}$ für h nicht 0.
Also ist $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}|= \infty \end{eqnarray*}$ , damit existiert f'(0) nicht.

Addendum: Und das aus deinem letzten Post ist ein schönes Beispiel warum das mit dem einseitigen Grenzwert keine gute Idee ist.

07.05.2015, 02:14

wopi

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@Captain Kirk: Warum erzählst du mir ständig Dinge, die ich schon seit Jahrzehnten weiß, wenn diese bestenfalls entfernt mit der Fragestellung von Kel zu tun haben?
Er fasst h nun einmal als POSITIVE Zahl auf.

Aber schön, dass du überhaupt einmal auf die Frage eingehst.

07.05.2015, 02:23

Kel

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Zitat:

Original von Kel
[quote]Original von Captain Kirk
@kel: Wieso arbeitest du dann mit einseitigen Grenzwerten. Die sehe ich in deinem Skript nirgends.

Weil es das einzige ist, was ich aus dem Skript auf die Aufgabe anwenden kann aus meiner Sicht. Die Bemerkung zu Stetigkeit steht da, das ist aber keine Definition wie auf Seite 77 und damit für mich nicht anwendbar, Aufgabenstellung wird ziemlich konkret ausgelegt.

Seite 77 gibt den rechtsseitigen Grenzwert an, wenn ich nur den überprüfe weiss ich ja gar nicht, ob die Funktion an der Stelle x0 = 0 wirklich differenzierbar ist oder nicht?

Zitat:

Man schaut ob der Grenzwert existiert.
Tut er das, ist es gut.

Aufgabe 10a, wenn ich da nur x+h anschaue krieg ich einen Grenzwert raus, obwohl der Punkt bei 0 nicht differenzierbar ist. Hilft mir also doch nicht wirklich weiter?

Und ich kapier ehrlich gesagt nicht worüber ihr euch gerade streitet oder warum ich h als positive Zahl ansehe, h ist entweder positiv bei rechtsseitigem Grenzwert oder negativ bei linksseitigem oder nicht? Ich blick da nicht mehr durch.

07.05.2015, 02:25

Captain Kirk

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@Kel: ich hab dir jetzt eine Möglichkeit angegeben. Ich seh nach wie vor auch auf Seite 77 keinen einseitigen Grenzwert. Und wie du siehst hilft dir der bei der Aufgabe auch nicht.

Bei eurer Definition wird nirgendwo h>0 vorausgesetzt, macht auch sonst keiner.

Das scheint den grundsätzlicher Denkfehler zu sein.

@wopi:

Zitat:

Aber schön, dass du überhaupt einmal auf die Frage eingehst.

Nuhr-Zitat.

07.05.2015, 02:33

wopi

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Captain Kirk hat recht.
Ich bin wohl zu müde und wäre besser ins Bett gegangen.

Tut mir leid Captain! (!!)

07.05.2015, 02:33

Kel

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Captain Kirk
@Kel: ich hab dir jetzt eine Möglichkeit angegeben. Ich seh nach wie vor auch auf Seite 77 keinen einseitigen Grenzwert. Und wie du siehst hilft dir der bei der Aufgabe auch nicht.
Bei eurer Definition wird nirgendwo h>0 vorausgesetzt, macht auch sonst keiner.
Das scheint den grundsätzlicher Denkfehler zu sein.

Ja, einen Denkfehler hab ich wohl allemal drin verwirrt

verwirrt

.

Zu deiner Lösung für 10c: Wieso kommt denn da unendlich raus?
Und h geht ja gegen 0, also hab ich doch am Ende da 1/0 stehen wegen dem Limes oder nicht?

Wenn ich nur das von Seite 77 benutze, wie überprüfe ich denn dann 10a und 10b auf Differenzierbarkeit und Grenzwert?
Versuch das grade zu rechnen aber da krieg ich bei 10a doch einfach wieder 1 raus, aber die Funktion ist doch bei x0=0 nicht differenzierbar? verwirrt

verwirrt

Laut meinem Skript ist eine Funktion aber differenzierbar wenn der Grenzwert existiert, also wenn aus der Formel ein "vernünftiges" Ergebnis kommt.
Irgendwie .... hab ich da wohl einen ziemlich großen Denkfehler.

07.05.2015, 02:45

Captain Kirk

Auf diesen Beitrag antworten »

@wopi: Entschuldigung akzeptiert.

@Kel:

Zitat:

Und h geht ja gegen 0, also hab ich doch am Ende da 1/0 stehen wegen dem Limes oder nicht?

Du darfst beim Limes nicht einfach einsetzen. (Wenn dem so wäre könnte man sich die ganze Theorie sparen.)
Es ist $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} 1/h= \infty \end{eqnarray*}$ . Das ist einer der grundlegenden Limiten. Veilleicht ist es eine gute Übung, das mit der Definition zu zeigen.

Die 10b) ist schlicht den Limes berechnen, der existiert.

Bei der a) liefert die Rechnung: $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h} \end{eqnarray*}$
Dieserer Grenzwert existiert nicht, denn |h|/h=-1 falls h<0 und |h|/h=1 falls h>0.
(Auch das kann man wieder über die Epsilontik genauer zeigen)

07.05.2015, 02:50

wopi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuchs doch noch mal:

wenn bei 1/h (CK) h gegen 0 geht, ist h nicht 0 sondern eine Zahl, die nahe bei Null liegt z. B 1/1000000.
dann ist 1/h 1000000 (oder noch mehr, wenn h immer näher an Null liegt.

1/h -> unendlich, wenn h->0 (h positiv) geht oder -unendlich (h negativ)

07.05.2015, 02:58

Kel

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Zitat:

Original von Captain Kirk
Es ist $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} 1/h= \infty \end{eqnarray*}$ . Das ist einer der grundlegenden Limiten. Veilleicht ist es eine gute Übung, das mit der Definition zu zeigen.

Ah, mit etwas nachdenken und einer kurzen Googlesuche hab ich etwas einleuchtendes gefunden.
Was wär denn der Grenzwert für 1 geteilt durch etwas unendlich kleines. Etwas unendlich großes.
(ein Taschenrechner hätte mir das in 5 Sekunden gezeigt aber daran denk ich um die Uhrzeit nicht mehr ...).
Freude

Freude

Zitat:

Original von Captain Kirk
Die 10b) ist schlicht den Limes berechnen, der existiert.

Macht Sinn.

Zitat:

Original von Captain Kirk
Bei der a) liefert die Rechnung: $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h} \end{eqnarray*}$
Dieserer Grenzwert existiert nicht, denn |h|/h=-1 falls h<0 und |h|/h=1 falls h>0.
(Auch das kann man wieder über die Epsilontik genauer zeigen)

Abgesehen davon dass ich keine Ahnung habe was Epsilontik ist wird mir das grade alles klarer.
h = 0 darf ich nicht annehmen, weil ich sonst durch 0 teilen würde, also betrachte ich die Alternativen > 0 und < 0 und schaue mir an, was dann passiert und ob die Werte übereinstimmen.
Im Grunde ist das doch genauso wie rechts- und linksseitige Grenzwerte betrachten und vergleichen? geschockt

geschockt

Ich geh jetzt endlich schlafen, vielen vielen Dank für die ganzen Erklärungen, das geht natürlich auch an wopi Gott

Gott

07.05.2015, 03:09

Captain Kirk

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ah, mit etwas nachdenken und einer kurzen Googlesuche hab ich etwas einleuchtendes gefunden.
Was wär denn der Grenzwert für 1 geteilt durch etwas unendlich kleines. Etwas unendlich großes.
(ein Taschenrechner hätte mir das in 5 Sekunden gezeigt aber daran denk ich um die Uhrzeit nicht mehr ...).
Freude

Bitte zeigs mit der Defintion. Das was du hier schreibst ist eine anschauliche Erklärung, wie fast alle anschaulichen Erklärung ist sie so halb-richtig.

Epsilontik, ist eine Defintion mit Epsilon und/oder Delta, so wie eure Grenzwertdefinition.

Zitat:

Im Grunde ist das doch genauso wie rechts- und linksseitige Grenzwerte betrachten und vergleichen?

Man kann das über rechts/linksseitigen Grenzwert machen. (ich hab hier nie was anderes gesagt)
Ich halte es nur für nicht sinnvoll: Was ist denn überhaupt ein einseitiger Grenzwert? Ihr habt es in der Vorlesung nicht definiert, ich vermute mal du kennst das noch aus der Schule, wo es auch mit ziemlicher Sicherheit nur eine anschauliche Definition war. Damit kann man arbeiten wenn man weiß was man tut, ansonsten ist das sehr gefährlich, wenn man in Fälle kommt wo es nicht mehr ganz mit der Anschauung zusammenpasst.
Dafür gibts hier den expliziten Beweis über die Epsilontik, ich hab hier nur die grobe Idee (die Anschauung, daher schauts auch nach der anderen Anschauung aus) geschrieben.

07.05.2015, 04:33

Kel

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Captain Kirk
Bitte zeigs mit der Defintion. Das was du hier schreibst ist eine anschauliche Erklärung, wie fast alle anschaulichen Erklärung ist sie so halb-richtig.

Okay, ich versuchs mal.

10a:

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{|x+h| - |x|}{h} = \frac{|0+h| - |0|}{h} = \frac{|h|}{h}<br /> \end{eqnarray*}$
Funktion hat Fallunterscheidung, also schaue ich für h>0 = 1 und h<0 = -1, unterschiedlich, also ist die Funktion bei x0=0 nicht differenzierbar und deshalb existiert auch dafür kein Grenzwert.

10b:

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{3(x+h)-1 - (3(x)-1)}{h} = \frac{3x+3h-1 - 3x+1)}{h} = \frac{3h)}{h} = 3 <br /> \end{eqnarray*}$
Funktion ist bei Stelle x0=0 differenzierbar und hat den Grenzwert 3.

10c:

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{f(0+h) - 0}{h} = \frac{f(h)}{h}<br /> \end{eqnarray*}$
Funktion hat Fallunterscheidung, also schaue ich für h>0 = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{h} \end{eqnarray*}$ und h<0 = $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{-h} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{h} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{h} \end{eqnarray*}$ geht gegen unendlich beim Limes, da h immer kleiner wird, ist also nicht bei x0=0 differenzierbar und hat dort entsprechend auch keinen Grenzwert.

Ist das soweit korrekt?

07.05.2015, 13:46

Captain Kirk

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Formale Anmerkung:
Überall wo das h mit drin muss(!) der Limes davorstehen.

Deine Argumentationen, warum die Grenzwerte nicht existieren, sind nach wie vor die Anschaulichen. Ich hab keine Ahnung ob das dem Aufgabensteller reicht.
Exakte Beweise führe bitte über eure Definition des Grenzwerts.

07.05.2015, 16:35

Kel

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Captain Kirk
Deine Argumentationen, warum die Grenzwerte nicht existieren, sind nach wie vor die Anschaulichen. Ich hab keine Ahnung ob das dem Aufgabensteller reicht.
Exakte Beweise führe bitte über eure Definition des Grenzwerts.

Okay, ich rechne also den Grenzwert aus und muss dann wohl den Grenzwert der Funktion überprüfen (Skript S. 68) - sprich Epsilontik / Delta-Epsilon.

Wie verknüpfe ich denn die Differenzierung der Funktion an der Stelle x0 und die Definition des Grenzwertes der Funktion?
Ich hatte davor schon riesige Schwierigkeiten mit Delta/Epsilon und habe es absolut nicht begriffen, weder mit dem Skript noch mit stundenlangem Googlen nach einer eingängigen Erklärung.

Wenn ich bei 10a) jetzt $\begin{eqnarray*} \frac{|h|}{h} \end{eqnarray*}$ rausbekomme, wie gehe ich dann weiter vor, um einen exakten Beweis mittels Delta-Epsilon zu führen für den Grenzwert?

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