27 ist Teiler einer Summe beweisen

07.05.2015, 18:42

Jefferson1992

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27 ist Teiler einer Summe beweisen

Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} 27 \mid N=\sum\limits_{i=0}^{m} a_{i}*10^{i} \end{eqnarray*}$
Das soll ich sagen, welche Eigenschaften $\begin{eqnarray*} a_{i} \end{eqnarray*}$ haben muss, damit $\begin{eqnarray*} 27|N. \end{eqnarray*}$

Als Hinweis steht da, dass ich Modulo anwenden soll.

Habe es wie folgt versucht:

$\begin{eqnarray*} 10 mod 27 \equiv -17 mod 27 => 10^{i}\equiv (-17)^{i} mod 27 \end{eqnarray*}$

Und daraus müsste ja dann das folgen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{m} a_{i}*(-17)^{i}\equiv 0 mod 27 \end{eqnarray*}$

Aber das hieße ja, dass egal welches a ich wähle, 17 durch 27 teilbar ist und das ist ja nicht der Fall.

Wo liegt mein Fehler?

Unser Dozent hat extra gesagt, dass wir es nicht mit der Quersumme machen sollen!

Dankbar für jede Hilfestellung!

07.05.2015, 18:46

HAL 9000

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Quersumme schon, aber "gewichtet". Hilfreich dürfte dabei $\begin{align*} 10^3 = 1000 = 27\cdot 37+1 \equiv 1\bmod 27 \end{align*}$ sein.

07.05.2015, 18:52

Jefferson1992

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Danke!

Das heißt ich darf aus

$\begin{eqnarray*} 10 mod 27 \equiv 10^{3} mod 27 =1 mod 27 \end{eqnarray*}$
machen?

07.05.2015, 18:54

HAL 9000

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Nein, das heißt es nicht, und es stimmt natürlich auch nicht! Zumindest nicht das linke $\begin{align*} \equiv \end{align*}$ . geschockt

geschockt

07.05.2015, 18:58

Jefferson1992

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ja sorry, das war dumm.

aber was genau meinst du dann mit 10³

Was bringt mir das dann?

Im Prinzip heißt

$\begin{eqnarray*} 10 mod 27 \end{eqnarray*}$
doch das ich
$\begin{eqnarray*} 0*27+10 \end{eqnarray*}$
rechnen muss, weil die 27 kein mal in die 10 geht.

deshalb habe ich dann 10 Rest.

07.05.2015, 19:05

HAL 9000

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Kennst du die Teilbarkeitsregeln durch 7 bzw. 13, basierend auf $\begin{align*} 1000 = 1001-1 = 7\cdot 11\cdot 13-1\equiv -1\bmod m \end{align*}$ sowohl für m=7 als auch m=13 ?

http://de.wikipedia.org/wiki/Teilbarkeit#Teilbarkeit_durch_7

So ähnlich (mit den Ziffer-Dreiergruppen) geht das hier dann auch, hier sogar noch einfacher weil ohne Vorzeichenwechsel zwischen den Gruppen.

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07.05.2015, 19:27

Jefferson1992

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Ich habe es mal versucht zu verstehen.

Mir ist klar, dass wenn ich eine große Zahl habe, zum Beispiel 2365, das ich diese Zahl dann entweder in a=23 und b =65 oder a=236 und b=5 unterteilen kann.

Dann rechnet man $\begin{eqnarray*} 2*a+b \end{eqnarray*}$ und wenn das Ergebnis durch die Zahl teilbar ist, dann ist alles gut.

Jetzt habe ich nur ein Problem, ich habe in meinem Fall die 10.

Muss ich da das Verfahren vielleicht rückwarts machen? Kann das sein?

Das 10 das Ergebnis aus einer so einer Berechnung ist?

Ich weiß halt nicht, wie ich die 10 aufteilen soll. in 1 und 0?

dann hätteich $\begin{eqnarray*} 2*0+1 =1 \end{eqnarray*}$ und 1 ist nicht durch 27 teilbar..

Was verstehe ich falsch?

07.05.2015, 19:33

HAL 9000

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Also mit dem was ich geschrieben habe, hat das jetzt nichts zu tun, oder? verwirrt

verwirrt

Im Rahmen der obigen Regel heißt lässt $\begin{align*} 2365 \end{align*}$ durch 27 geteilt denselben Rest wie $\begin{align*} 2+365=367 \end{align*}$ , damit kann man das Problem auf maximal dreistellige Zahlen zurückführen. Wenn das "zuwenig" ist, kann man natürlich noch für diese dreistelligen Zahlen

$\begin{align*} \sum_{k=0}^2 a_k10^k = a_0+10a_1+100a_2\equiv a_0+10a_1-8a_2\bmod 27 \end{align*}$

nutzen, letzteres basierend auf $\begin{align*} 100\equiv 4\cdot 27-8\equiv -8\bmod 27 \end{align*}$ . Hier dann also $\begin{align*} 367\equiv 67-3\cdot 8 = 43\equiv 16\bmod 27 \end{align*}$ .

07.05.2015, 19:48

Jefferson1992

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okay, das Prinzip ist mir glaube ich klar.

Wenn ich eine vierstellige Zahl habe kann ich die aufteilen in a und b mit a 3 Ziffern und b eine Ziffer.

Die addiere ich dann.

zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} 1435 \end{eqnarray*}$ wäre $\begin{eqnarray*} 435+1=436 \end{eqnarray*}$

und wenn diese Zahl durch m teilbar ist, dann ist auch 1435 durch m teilbar?

Habe ich das erstmal richtig verstanden?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^2 a_k10^k = a_0+10a_1+100a_2\equiv a_0+10a_1-8a_2\bmod 27 \end{eqnarray*}$

Also das ist mir noch klar.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 100\equiv 4\cdot 27-8\equiv -8\bmod 27 \end{eqnarray*}$

und das auch. Weil ich
$\begin{eqnarray*} 100-27=73 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 73-27=46 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 46-27=19 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 19-27=-8 \end{eqnarray*}$

habe.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 367\equiv 67-3\cdot 8 = 43\equiv 16\bmod 27 \end{eqnarray*}$

Jetzt teile ich 367 in 67 und 3 ein. Ist klar. Aber warum muss ich dann da noch mal 8 rechnen?

07.05.2015, 19:51

HAL 9000

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Augen auf:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^2 a_k10^k = a_0+10a_1+100a_2\equiv a_0+10a_1{\color{red}-8}a_2\bmod 27 \end{eqnarray*}$

07.05.2015, 19:54

Jefferson1992

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und warum rechne ich dann nicht $\begin{eqnarray*} 10*a_{1} \end{eqnarray*}$ , also in dem Fall $\begin{eqnarray*} 10*67 \end{eqnarray*}$ ?

Sorry, wenn ich mich dumm anstelle..

07.05.2015, 20:23

HAL 9000

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Herrje! $\begin{align*} a_0+10a_1 \end{align*}$ sind doch die originalen letzten beiden Stellen. Wenn es dir besser gefällt, dann kannst du statt $\begin{align*} 67-3\cdot 8 \end{align*}$ natürlich auch $\begin{align*} 7+6\cdot 10-3\cdot 8 \end{align*}$ rechnen. smile

smile

08.05.2015, 09:05

Jefferson1992

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Das heißt, wenn ich 10 betrachte, hätte ich. $\begin{eqnarray*} 1+0*10 \equiv 1 mod 27 \end{eqnarray*}$ ?

Und das bedeuten dann in dieser Hinsicht was für $\begin{eqnarray*} a_{i} \end{eqnarray*}$ ?

Kann ich dann die 10 ersetzen durch 1 und hätte dann das $\begin{eqnarray*} a_{i} \end{eqnarray*}$ durch 27 teilbar sein muss, sodass der ganze Ausdruck durch 27 teilbar ist?

Danke

08.05.2015, 09:08

HAL 9000

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Nein: 10 ist doch nicht $\begin{align*} 1+0\cdot 10 \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} 0+1\cdot 10 \end{align*}$ . Das ist ja grauenhaft, wie du ständig die simpelsten Grundlagen des Stellenwertsystems, hier sogar des vertrauten Dezimalsystems verwurstelst. unglücklich

unglücklich

Scheint so, als müssen wir da nochmal einen Grundkurs machen: Z.B. ist

$\begin{align*} 367 = 3\cdot 10^2+6\cdot 10^1+7 = 7 + 6\cdot 10 + 3\cdot 10^2 \end{align*}$

(ist ja egal, in welcher Reihenfolge man die Summanden schreibt), es ist für diese Zahl demnach $\begin{align*} a_0=7,a_1=6,a_2=3 \end{align*}$ . Ich hoffe, das ist jetzt endlich klar, jedenfalls möchte ich Fehler auf diesem Niveau nicht mehr hier im Thread sehen (ich lese da oben was von Hochschulmathematik).

08.05.2015, 09:20

Jefferson1992

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Okay.
Und was genaugenau bringt mir das jetzt?
Ich soll ja eine Aussage über a machen.

Edit

Ja sorry. Man denkt als Ersti einfach noch zu kompliziert.
Tut mir leid.
Mir ist das grundlegende System jetzt klar.
10 kann ich darstellen als 0+1*10

Aber was genau bringt mir diese Aussage jetzt in meinem Zusammenhang?

08.05.2015, 09:24

HAL 9000

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hoffnungslos
Ich denke, du suchst eine vereinfachte Teilbarkeitsregel für die Division durch 27, die also (wie jede solche Teilbarkeitsregel) große Zahlen auf kleinere herunterbricht. Wenn du die in den vorangegangenen Betrachtungen nicht erkennst, dann kann ich dir auch nicht mehr helfen. unglücklich

unglücklich

08.05.2015, 09:31

Jefferson1992

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Ich stehe auf einem schlauch sorry.
10 ist doch nie durch 27 teilbar, außer ich quadriere es.
Also muss a durch 27 teilbar sein, sodass es teilbar ist?

08.05.2015, 09:35

HAL 9000

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Was soll denn nun wieder dieser Unfug, du machst mich fertig. unglücklich

unglücklich

Natürlich ist 10 nicht durch 27 teilbar! Wieso auch? Was soll diese Anmerkung?

Erwartest du eine "Prozedur", die 10 durch 27 teilbar macht? Finger1

Finger1

Ehrlich, was in deinem Gehirn vorgeht, ist fernab meiner Vorstellungskraft.

08.05.2015, 09:39

Jefferson1992

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In der Aufgabe steht als Hinweis, dass man 10 mod 27 berechnen soll.
Und genau das ist das, was mich irritiert.
Weil da hätte ich das was ich am Anfang geschrieben habe.
Aber das mache für mich keinen Sinn, deshalb habe ich nachgefragt.

08.05.2015, 09:45

HAL 9000

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10 mod 27 ist natürlich die 10 selbst. Und ich lese sowas nicht in der Aufgabenstellung, sondern

Zitat:

Original von Jefferson1992
$\begin{eqnarray*} 27 \mid N=\sum\limits_{i=0}^{m} a_{i}*10^{i} \end{eqnarray*}$
Das soll ich sagen, welche Eigenschaften $\begin{eqnarray*} a_{i} \end{eqnarray*}$ haben muss, damit $\begin{eqnarray*} 27|N. \end{eqnarray*}$

08.05.2015, 09:50

Jefferson1992

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Ja und was bringt es mir zu wissen, das das 10 ist?
Ich glaube ich lasse das sein und gehe ohne Lösung ab und lass es mir erklären.
Ich mache mich hier ja nur zum Deppen..

08.05.2015, 09:51

HAL 9000

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Also mal ein Positivbeispiel: Prüfen wir mal die Zahl $\begin{align*} 8869021857 \end{align*}$ auf Teilbarkeit durch 27.

Nach dem ersten Kriterium oben bilden wir Dreiergruppen (von hinten beginnend) und summieren diese:

$\begin{align*} 857+021+869+8 = 1\,755 \end{align*}$

Durch den Übertrag sind wir vierstellig geworden, wir können das also noch einmal machen: $\begin{align*} 755+1 = 756 \end{align*}$ .

Für diese Zahl gilt nun $\begin{align*} 756 \equiv 56-8\cdot 7 = 0\bmod 27 \end{align*}$ , d.h. Punktlandung, diese Zahl ist durch 27 teilbar.

Und dann noch ein Negativbeispiel:

Für die Zahl $\begin{align*} 6\,332\,156\,446 \end{align*}$ haben wir $\begin{align*} 446+156+332+6=940 \end{align*}$ , hier dann weiter

$\begin{align*} 940 \equiv 40-8\cdot 9 = -32\equiv 22\bmod 27 \end{align*}$

d.h. die Zahl $\begin{align*} 6\,332\,156\,446 \end{align*}$ lässt bei Division durch 27 den Rest 22, ist selbst also nicht durch 27 teilbar.

Zitat:

Original von Jefferson1992
Ja und was bringt es mir zu wissen, das das 10 ist?

Und noch eins deiner unsäglichen Statements ohne Sinn und Verstand. Ich werde wohl aufgeben müssen bei soviel Unverstand.

08.05.2015, 09:56

Jefferson1992

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Okay. Ich versuche eses.

Das heißt die Summe ist durch 27 teilbar, wenn ich 0 mod 27 raus bekomme?

08.05.2015, 09:58

HAL 9000

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Ja. Aber hast du den ganzen Thread verschlafen (und womöglich auch weite Teile der Vorlesung), wenn du jetzt mit dieser Frage kommst? unglücklich

unglücklich

08.05.2015, 10:00

Jefferson1992

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Naja, das ist mir im Grunde schon klar.
Aber reicht es, wenn ich das schreibe?
Oder muss ich noch irgendwas beachten?

Edit..
Wir hatten Teilbarkeit noch nicht in der Vorlesung, weil der Dozent krank war.

08.05.2015, 10:10

HAL 9000

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Ihr "hattet keine Teilbarkeit" und müsst diese Aufgabe über Teilbarkeit durch 27 bewältigen? Wird jetzt die Lehre auf Internetforen abgewälzt? unglücklich

unglücklich

09.05.2015, 23:59

Jefferson1992

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Sieht so aus.
Naja, werde es irgendwann in ddr Vorlesung machen.

Vielen dank erstmal für deine Hilfe und sorry, dass ich dir graue Haare gemacht habe.

Schönes Wochenende!

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