Beweis kommutative Gruppe

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07.05.2015, 20:01	cathi--	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis kommutative Gruppe Meine Frage: Hallo Leute, ich habe eine Übung für Mathe zu erledigen bei der ich einfach nicht weiterkomme. Ich soll beweisen, dass (a1, a2) (b1, b2) := (a1b1 - a2b2, a1b2 + a2b1) eine kommutative Gruppe ist. Abgeschlossenheit, Assoziativität und neutrales Element sind bewiesen, nur beim inversen (i1, i2) Element komme ich einfach nicht weiter. Für das neutrale Element (e1, e2) habe ich (1,0) gewählt. Jetzt ist die Frage, ob dieses neutrale Element überhaupt schon genommen werden kann oder ob ich ein anderes verwenden muss. Meine Ideen:* Ich habe versucht mit dem neutralen Element (e1, e2) = (1,0) das inverse Element zu finden, jedoch komme ich einfach auf keine Lösung. Mit dem Einsetzungsverfahren kam ich auch zu keiner Lösung. Habe mal nach i2 aufgelöst, kam jedoch auch zu keinem wirklichen Ergebnis. Kann mir jemand helfen oder auch nur mal einen Tipp geben? Vielen Dank
08.05.2015, 11:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Man muss wissen, in welcher algebraischen Struktur die Elemente $\begin{eqnarray} a_1,a_2,b_1,b_2 \end{eqnarray}$ liegen, sonst kann man mit dieser Aufgabe nichts anfangen. Wenn dies eine Gruppe sein soll, so kann sie nur ein eindeutig bestimmtes neutrales Element haben. Das zu $\begin{eqnarray} (a_1,a_2) \end{eqnarray}$ inverse Element müsste sich dann finden lassen - wenn nicht, ist es eben keine Gruppe.
08.05.2015, 11:57	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich darfst du das neutrale Element zunächst nicht (beliebig) "annehmen", sondern du musst es aus der Gleichung $\begin{eqnarray} (a_1, a_2) o (n_1, n_2) = (a_1, a_2) \end{eqnarray}$ berechnen. Dabei ergibt sich das System $\begin{eqnarray} a_1n_1 - a_2n_2 = a_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_1n_2 + a_2n_1 = a_2 \end{eqnarray}$ ______________________ Nach weiterer Rechnung ergibt sich tatsächlich $\begin{eqnarray} n_1 = 1, n_2 = 0 \end{eqnarray}$ , wenn man nur reelle Lösungen zulässt. So. Und nun ergibt sich für das inverse Element ein ähnliches System: $\begin{eqnarray} a_1i_1 - a_2i_2 = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_1i_2 + a_2i_1 = 0 \end{eqnarray}$ ______________________ Dieses ist einfach nach $\begin{eqnarray} i_1, i_2 \end{eqnarray}$ zu lösen und sollte eigentlich keine weiteren Schwierigkeiten bereiten. Ich verrate dir wenigstens einen Teil $\begin{eqnarray} i_2 = \frac{-a_2}{a_1^2 + a_2^2} \end{eqnarray}$ Übrigens, ist dir bekannt, dass es eine(n) (wichtige(n)) Gruppe/Zahlenkörper gibt, die/der analog strukturiert ist, wie es die o.a. Verknüpfungsvorschrift angibt? Da sollte etwas klingeln .. mY+
09.05.2015, 12:16	cathi---	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe gerade gesehen, dass ich schon Antwort bekommen habe Auf jeden Fall schon einmal vielen, vielen Dank für eure schnelle Hilfe. @ Elvis Also der Aufgabentext gibt meiner Meinung nach sonst nicht mehr her.. "Sei G := R2 \ {(0, 0)} die Menge aller Paare reeller Zahlen ohne das Paar (0, 0). Wir definieren in G eine Verknüpfung * durch: (a1, a2) * (b1, b2) := (a1,b1 – a2b2, a1b2 + a2b1) Zeigen Sie, dass (G, *) eine kommutative Gruppe ist." Allerdings haben wir das Thema Gruppen auch erst neu und ich bin daher mit dem Thema noch nicht so recht vertraut. @mYthos Ja, genau so habe ich das auch gemacht um das neutrale Element rauszubekommen. Bei dem inversen Element hatte ich das auch schon als Lösung und für i1= a1/((a1)^2 + (a2)^2). Aber müsste ich nicht da auch reelle Zahlen für finden? Oder reicht das jetzt schon aus? Bei dem neutralen Element habe ich ja auch reelle Zahlen gefunden. Nein, da klingelt jetzt leider irgendwie noch nichts...aber das Thema ist ja auch noch recht neu..hättest du noch mal einen Tipp und könntest du mir vielleicht nur sagen, wo ich dazu etwas finden kann? Vielen Dank für eure Hilfe.
09.05.2015, 12:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Es ist entscheidend wichtig zu wissen, dass es sich um Paare reeller Zahlen handelt. Anderenfalls wären die Produkte, Differenzen und Summen nicht definiert. 2. Es gibt genau ein neutrales Element $\begin{eqnarray} (1,0) \end{eqnarray}$ , und zu jedem Element $\begin{eqnarray} (a_1,a_2) \end{eqnarray}$ gibt es genau ein inverses Element $\begin{eqnarray} (\frac {a_1}{a_1^2+a_2^2},\frac {-a_2}{a_1^2+a_2^2} ) \end{eqnarray}$ . 3. Spätestens wenn Du das Quadrat von $\begin{eqnarray} i=(0,1) \end{eqnarray}$ berechnest musst Du merken, um welche Gruppe es sich hier handelt.
10.05.2015, 21:15	cathi---	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort Leider komme ich immer noch nicht so wirklich klar Wenn ich für i=(0, 1) wähle, dann komme ich doch nicht auf mein neutrales Element..auch, wenn ich quadriere nicht. Aber vielleicht verstehe ich das auch falsch.. Da du dich ja sehr gut auszukennen scheinst..hättest du ein Buch als Empfehlung, wo man sich ergänzend zu der Vorlesung in der Uni noch mehr über Gruppen aneignen kann? Im Moment fühle ich mich nämlich überhaupt nicht fit da drin und es ist so einiges unklar. Noch einmal Danke für deine Hilfe.
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11.05.2015, 09:31	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} i^2=(-1,0)=-(1,0)=-1 \end{eqnarray}$ , deshalb habe ich dieses Element $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ genannt, und die Gruppe ist die multiplikative Gruppe $\begin{eqnarray} (\mathbb C\backslash \{0\},\cdot) \end{eqnarray}$ des Körpers der komplexen Zahlen. Literatur: 1. Siegfried Bosch "Algebra", Springer Lehrbuch (enthält algebraische Strukturen, im Zentrum der Algebra steht die Galoistheorie) - für jeden Studierenden der Algebra. 2. Kurzweil, Stellmacher "Theorie der endlichen Gruppen", Springer Lehrbuch (geht bis zum Klassifikationssatz der endlichen einfachen Gruppen) - für Studierende, die mehr über Gruppen wissen wollen.
11.05.2015, 19:38	cathi---	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, verstehe. Vielen Dank für die Zeit und Mühe, sowie die Literatur Hoffe, dass bei Durcharbeiten dieser nochmal einiges etwas klarer wird.
11.05.2015, 19:44	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ganz sicher. Für jedes Buch musst Du mindestens zwei Semester ansetzen. Beide Bücher enthalten auch gute Literaturhinweise (für die nächsten 30 Jahre Algebra-Studium). Vergiss nicht, regelmäßig nach neuer Literatur zu forschen.

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