Konvergenzradius komplexe Reihe

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07.05.2015, 20:04	Share	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzradius komplexe Reihe Meine Frage: Hallo, ich bräuchte etwas Hilfe bei folgender Aufgabe: Bestimmen Sie sämtliche $\begin{eqnarray} z \in \mathbb C \end{eqnarray}$ , für welche die gegebene Reihe konvergiert: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^{\infty } \frac{z^n}{1+z^{2n}} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Für die Aufgabe muss ich ja zunächst den Konvergenzradius bestimmen und dazu Cauchy-Hadamard anwenden, allerdings brauche ich dafür eine Potenzreihe der Form $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^{\infty } a_n(z-z_0)^n \end{eqnarray}$ und hier liegt mein Problem: Ich komm einfach nicht drauf, wie ich bei $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+z^{2n}} \cdot z^n \end{eqnarray}$ aus dem Bruch $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+z^{2n}} \end{eqnarray}$ das zweite $\begin{eqnarray} z^n \end{eqnarray}$ rausziehen kann. Kann mir jemand einen Tipp geben, damit ich weiterkomme? Danke im Voraus.
07.05.2015, 21:02	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius komplexe Reihe Ich wuerde sagen, das ist einfach keine Potenzreihe und Du kannst auch mit Gewalt keine draus machen. Du wirst eine andere Idee brauchen. Wenn ich es richtig sehe, dann konvergiert die Reihe ueberall, ausser auf dem Rand des Einheitskreises (ohne Gewaehr).
07.05.2015, 21:38	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenzradius komplexe Reihe Die Formel von Cauchy-Hadamard ergibt sich durch Vergleich mit der geometrischen Reihe. Dieser Weg geht hier auch, allerdings musst Du den Vergleich selber machen und nicht einfach etwas in eine fertige Formel einsetzen. Schaetze einfach $\begin{eqnarray} \left\|{z^n\over1+z^{2n}}\right\| \end{eqnarray}$ mit der Dreiecksungleichung ab. Welche drei Faelle zu unterscheiden sind, hab ich ja schon verraten.
07.05.2015, 22:30	Share	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort, doch inwiefern hilft die Dreiecksungleichung? Gilt nicht das Folgende: $\begin{eqnarray} \|\frac{z^n}{1+z^{2n}}\| \geq \frac{\|z^n\|}{\|1\|+ \|z^{2n}\|} = \frac{\|z^n\|}{1+z^{2n}} \end{eqnarray}$ ? Das ist doch fast dasselbe wie zuvor oder lieg ich da falsch?
07.05.2015, 22:43	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig geht es so: $\begin{eqnarray} \left\|{z^n\over1+z^{2n}}\right\|\ge{\|z\|^n\over1+\|z\|^{2n}} \end{eqnarray}$ , findest Du nicht? Kannst Du daraus fuer $\begin{eqnarray} \|z\|=1 \end{eqnarray}$ was schliessen? Ausserdem gibt es die Dreiecksungleichung noch in der Form $\begin{eqnarray} \|a+b\|\ge\|a\|-\|b\| \end{eqnarray}$ . Die koenntest Du auch mal ausprobieren.
08.05.2015, 19:41	Share	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei $\begin{eqnarray} \| z\|^{2n} \end{eqnarray}$ hab ich den Betrag deswegen weggelassen, da $\begin{eqnarray} z^{2n} \end{eqnarray}$ ja immer positiv ist. Aber dennoch ist für $\begin{eqnarray} \| z\| =1 \end{eqnarray}$ die Folge divergent, da man für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ den Wert $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ erhält. Wären für die restlichen z folgende Abschätzungen möglich? Für z>1: $\begin{eqnarray} \| \frac{z^n}{1+z^{2n}} \| \geq \frac{\|z\|^n}{1 + \|z\|^{2n}} \geq \frac{\|z\|^n}{\|z\|^{2n} + \|z\|^{2n}} = \frac{\|z\|^n}{2\|z\|^{2n}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\|z\|^n} \end{eqnarray}$ für \|z\| > 1. Die Reihe mit dieser Folge ist dann nach der geometrischen Reihe konvergent, da $\begin{eqnarray} \|\frac{1}{z} \| < 1 \end{eqnarray}$ für z > 1. Und umgekehrt: Für z<1: $\begin{eqnarray} \| \frac{z^n}{1+z^{2n}} \| \leq \frac{\|z\|^n}{1 } = \|z\|^n \end{eqnarray}$ für z < 1. Hier folgt dann wieder die Konvergenz gemäß der geometrischen Reihe. Genügt das als Beweis oder hab ich zu grob abgeschätzt? Die andere Form der Dreiecksungleichung konnte ich hierbei jedoch nicht verwenden.
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08.05.2015, 20:27	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ komplex ist, dann ist im allgemeinen $\begin{eqnarray} \|z^2\|\neq z^2 \end{eqnarray}$ , schon weil Betrage immer reel und nichtnegativ sind. Probiere auch z.B. $\begin{eqnarray} z=i \end{eqnarray}$ , bzw. denke daran, dass $\begin{eqnarray} \|z\|=1 \end{eqnarray}$ der ganze Einheistkreis ist. Fuer den Konvergenzteil brauchst Du Abschaetzungen nach oben, nicht nach unten. Daher die andere Form der Dreiecksungleichung. Kurz gesagt: Deine erste Abschaetzung geht in die falsche Richtung und die zweite ist falsch, s.o.
09.05.2015, 19:56	Share	Auf diesen Beitrag antworten »
Mein Denkfehler mit $\begin{eqnarray} \|z\|^{2n} \end{eqnarray}$ ist mir im Nachhinein auch aufgefallen. $\begin{eqnarray} \|\frac{z^n}{1+ z^{2n}} \|\leq \frac{\|z\|^n}{1 - \|z\|^{2n}} \end{eqnarray}$ Bevor ich weitermache, aber nochmal eine Frage: Wenn die Reihe für alle z außer \|z\|=1 konvergieren soll, muss ich aber dennoch eine Unterscheidung für \|z\|>1 und \|z\|<1 vornehmen, oder? Das war auch mein Gedanke hinter meinen ersten beiden Abschätzungen, nur hab ich dabei das Majorantenkriterium ausgeblendet, da hast du recht. Irgendwie fehlt mir bei Abschätzungen oft der richtige Gedanke...
09.05.2015, 22:07	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
Die halbe Miete hast Du zusammen. Deine Ungleichung ist richtig, allerdings sicher nicht fuer alle z. Fuer z=2 z.B. kommt offensichtlich Bloedsinn raus. Ueberlege Dir, fuer welche z es stimmt und warum. Fuer die restlichen z brauchst Du dann noch eine ganz leicht andere Ungleichung.
10.05.2015, 11:47	Share	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, dann versuch ichs weiter. Danke für deine Hilfe.

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