Polynomfunktion 3. Grad

07.05.2015, 20:35

MiauM

Polynomfunktion 3. Grad

Meine Frage:
Hallo :-)
Also es geht um eine Polynomfunktion 4.Grad y= x^4 + x^2 -2
Gesucht sind die Nullstellen

Meine Ideen:
Meine Idee dazu ist Substitution:
a=x^2

0=a^2+a-2

So nun habe ich eine quatratische Gleichung die ich mit der quatratische Lösungsformel nach a1= 1 und a2= -2 auflöse......
Nun 1 ist eine Nullstelle das merke ich schon wenn ich 1 bei x in y= x^4 + x^2 -2 einsetze weil ich y=0 herausbekommen und davon ausgehe das auch y Null ergeben muss. -2 ist dann aber keine Lösung. Minus 2 ist keine Nullstelle. Heisst das: a=x^2 das ich vier eventuelle Lösungen habe von a1= 1^2 die Wurzel ist + und - 1 und von a2= -2^2 die Wurzel +2 und -2 und probier das dann in die Funktion einzusetzen und seh dann welche der vier Lösung ein Nullpunkt ist??? Irgendwie ist das verwirrend oder?

07.05.2015, 20:41

Mathema

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Hallo,

nach einer Substitution folgt immer die Resubstitution, d.h. du setzt dein gefundenes a in deine Substitutionsgleichung ein:

$\begin{eqnarray*} x^2=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2=-2 \end{eqnarray*}$

Diese Gleichungen liefern dir jetzt deine Nullstellen, die erste $\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=-1 \end{eqnarray*}$ , die zweite keine (reellen) Nullstellen.

07.05.2015, 20:49

MiauM

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Aber wie kommt man genau auf die 2.Nullstelle -1? Habe ich denn nun durch die Rücksubstition vier Lösungen? -1 , +1 und -2 ,+2
Irgendwie stehe ich da auf der Leitung.

07.05.2015, 20:54

Mathema

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Zitat:

Aber wie kommt man genau auf die 2.Nullstelle -1?

Indem du die Wurzel ziehst.

$\begin{eqnarray*} x^2=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x|=1 \end{eqnarray*}$

Und somit: $\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=-1 \end{eqnarray*}$ .

Es gilt ja:

$\begin{eqnarray*} 1 \cdot 1 = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -1 \cdot (-1) =1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Habe ich denn nun durch die Rücksubstition vier Lösungen? -1 , +1 und -2 ,+2

Kannst du dir diese Frage nun selbst beantworten?

07.05.2015, 21:06

MiauM

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Und die -2 als zweites Ergebnis der quatratischen Lösungsformel? Das ist nun eine falsche Lösung? Also gibt es falsche Lösungen wegen der Wurzel wenn ich das richtig sehe? Ich muss also alles überprüfen? Probe machen ob y Null ergibt? Mich stört diese -2 und ich weiß nicht wohin mit der Zahl.

07.05.2015, 21:12

Mathema

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Zitat:

Mich stört diese -2 und ich weiß nicht wohin mit der Zahl.

Das habe ich doch geschrieben:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x^2=-2 \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung liefert aber nun im reellen keine Lösung, da wir hier aus einer negativen Zahl nicht die Wurzel ziehen können. Somit bleibt es bei 2 Nullstellen.

Eine anschließende Probe kannst du gerne machen, ist aber nicht zwingend notwendig.

07.05.2015, 21:19

MiauM

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Jetzt geht mir ein Licht auf Gott

das ist das Geheimnis der -2!!!!! geschockt

wow eine einfache Sache die ich nicht bedacht habe! Bei der Rücksubstition kann ich ja aus -2 keine Wurzel ziehen.
Dankeschön. Manchmal sind es Kleinigkeiten an denen man scheitert oder sie schlicht weg übersieht.

07.05.2015, 21:22

Mathema

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Gerne - freut mich, wenn ich dir helfen konnte.

Hier noch der Graph als Bestätigung:

Schönen Abend dir.

Wink

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