Stetig, Komplex, Im, Re

08.05.2015, 09:17

StrunzMagi

Stetig, Komplex, Im, Re

Beweisen Sie, dass die folgende Funktion $\begin{eqnarray*} g: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ stetig ist mittels der Epsilon-Delta-Definition.
$\begin{eqnarray*} g(a+ib)= \frac{a^4}{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a+ib \not=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(a+ib)=0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a+ib=0 \end{eqnarray*}$

Hallo
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ beliebig,

Stetigkeit am Nullpunkt $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall x\in \mathbb{C}: |x|<\delta \iff \sqrt{a^2+b^2}<\delta \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |g(0)-g(x)| = \frac{|a^4|}{|a^2+b^2|} \end{eqnarray*}$
Hier komme ich leider nicht weiter..

Stetigkeit an $\begin{eqnarray*} x_0=a+ib \in \mathbb{C}\setminus \{0\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall x=s+it \in \mathbb{C}: |x_0-x|<\delta \iff \sqrt{(a-s)^2+(b-t)^2}<\delta \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} x_0 \not=0 \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} x \not= 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |g(x_0)-g(x)| = |\frac{a^4}{a^2+b^2}-\frac{s^4}{s^2+t^2}|=|\frac{a^4(s^2+t^2)-s^4(a^2+b^2)}{(a^2+b^2)(s^2+t^2)}| \end{eqnarray*}$
Ich weiß nicht recht, wie ich das kleiner als Epsilon bekomme bei geeigneter Wahl von Delta.

Würde mich über Hilfe sehr freuen!
Liebe Grüße

08.05.2015, 09:55

IfindU

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RE: Stetig, Komplex, Im, Re
Beim ersten hilft $\begin{eqnarray*} a^4 = a^2 \cdot a^2 \leq (a^2 + b^2) \cdot (a^2 + b^2) \end{eqnarray*}$ . Beim zweiten wohl nur hemmungsloses ausmultiplizieren.

08.05.2015, 10:18

RavenOnJ

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RE: Stetig, Komplex, Im, Re
Am Nullpunkt:
Wähle $\begin{align*} \delta^2=\epsilon \end{align*}$ , dann hast du $\begin{align*} \left|a^2+b^2\right| < \delta^2=\epsilon \end{align*}$ und $\begin{align*} \frac{\left|a^4\right| }{\left|a^2+b^2\right| }\le \frac{\left|a^2+b^2\right|^2 }{\left|a^2+b^2\right| }= \left|a^2+b^2\right|<\epsilon \end{align*}$

Edit: Da hat sich wohl was überschnitten, sorry IfindU

08.05.2015, 11:11

StrunzMagi

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Danke für eure Hilfe,
Ich verstehe nicht ganz das Vorgehen wenn der nach Stetigkeit zu untersuchende Punkt nicht 0 ist. Was hilft das Ausmultiplizieren?
$\begin{eqnarray*} |g(x_0)-g(x)| = |\frac{a^4}{a^2+b^2}-\frac{s^4}{s^2+t^2}|=|\frac{a^4(s^2+t^2)-s^4(a^2+b^2)}{(a^2+b^2)(s^2+t^2)}|= \frac{|a^4s^2+a^4t^2-s^4a^2-s^4b^2|}{|a^2s^2+a^2t^2+b^2s^2+b^2t^2|} \end{eqnarray*}$

Liebe Grüße

08.05.2015, 11:24

IfindU

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Ok, ich hätte es genauer sagen sollen: nur der Zähler ist interessant und sollte ausmultipliziert werden. Da $\begin{eqnarray*} x_0 \neq 0 \end{eqnarray*}$ kann man oBdA annehmen, dass $\begin{eqnarray*} \delta < \frac {|x_0|} 2 \end{eqnarray*}$ gewählt wird, und damit $\begin{eqnarray*} |x_0|^2 \cdot |x|^2 \geq \frac 1 4 |x_0|^4 \end{eqnarray*}$ ist. Damit ist der Nenner effektiv nur eine Konstante.

@RavenOnJ Kein Problem, so ist das (Board)Leben nunmal Augenzwinkern

08.05.2015, 15:32

StrunzMagi

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Ok, das verstehe ich:
Wähle $\begin{eqnarray*} \delta < \frac{|x_0|}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |x_0|-|x|<\delta \Rightarrow |x| \ge |x_0| - \delta \ge |x_0| - \frac{|x_0|}{2}=\frac{|x_0|}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow |x|^2 \ge (\frac{|x_0|}{2})^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow |x_0|^2 |x|^2 \ge \frac{1}{4} |x_0|^4 \end{eqnarray*}$

Der Zähler mach mir allerdings Sorgen, würde mich freuen wenn du mir da nochmal helfen könntest.
$\begin{eqnarray*} |x_0-x|<\delta \iff \sqrt{(a-s)^2 + (b-t)^2}<\delta \end{eqnarray*}$
Also ist auch $\begin{eqnarray*} \sqrt{(a-s)^2} < \delta \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \sqrt{(b-t)^2} < \delta \end{eqnarray*}$

Im Zähler $\begin{eqnarray*} |a^4s^2+a^4t^2-s^4a^2-s^4b^2| < | a^4s^2-s^4b^2|+|a^4t^2-s^4a^2|= |s^2||a^4-s^2b^2|+|a^2||a^2t^2-s^4| \end{eqnarray*}$
Ich wüsste nach viel Probieren noch immer nicht wie ich auf eine sinnvolle Abschätzung kommen.

08.05.2015, 18:01

IfindU

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Ausmultiplizieren war wohl keine gute Idee von mir. Besser sollte es mit
$\begin{eqnarray*} a^4(s^2+t^2)-s^4(a^2+b^2) = a^4(s^2+t^2) - s^4(s^2 + t^2) + s^4(s^2 + t^2)-s^4(a^2+b^2) \end{eqnarray*}$ gehen. Die Idee: $\begin{eqnarray*} a^4 \approx s^4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |x_0|^2 \approx |x|^2 \end{eqnarray*}$ .

09.05.2015, 07:29

StrunzMagi

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Morgen,
$\begin{eqnarray*} |a^4 (s^2+t^2)-s^4(s^2+t^2)+s^4(s^2+t^2)-s^4(a^2+b^2)|=|(a^4-s^4)(|x|^2) + s^4 (|x|^2-|x_0|^2)|<(|a^4-s^4|)((\delta + |x_0|)^2) + s^4 (||x|^2-|x_0|^2|) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||x|^2-|x_0|^2| \le |x^2 - x_0^2| \end{eqnarray*}$ mittels umgekehrter Dreiecksungleichung
$\begin{eqnarray*} |x^2-x_0^2|=|(x-x_0)(x+x_0)|\le \delta |x+x_0|<\delta (|x|+|x_0|) < \delta (\delta + 2|x_0|) \end{eqnarray*}$
Oder darf ich das in den komplexen zahlen nicht so durchführen?

D.h. $\begin{eqnarray*} (|a^4-s^4|)((\delta + |x_0|)^2) + s^4 (||x|^2-|x_0|^2|)<(|a^4-s^4|)((\delta + |x_0|)^2) + s^4 (\delta + 2|x_0|)) \end{eqnarray*}$
Was mache ich nun mit $\begin{eqnarray*} s^4 \end{eqnarray*}$ ? und wie schätze $\begin{eqnarray*} |a^4-s^4| \end{eqnarray*}$ geeignet ab?

09.05.2015, 09:23

IfindU

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Zitat:

Original von StrunzMagi
Oder darf ich das in den komplexen zahlen nicht so durchführen?

Darfst du natürlich, sollten sogar in jedem Prähilbertraum gelten. (Du benutzt nur elemenatare Eigenschaften der Norm, man muss bloss noch eine innere Multiplikation haben, die sich mit der Norm verträgt.)

Zitat:

D.h. $\begin{eqnarray*} (|a^4-s^4|)((\delta + |x_0|)^2) + s^4 (||x|^2-|x_0|^2|)<(|a^4-s^4|)((\delta + |x_0|)^2) + s^4 (\delta + 2|x_0|)) \end{eqnarray*}$

Hier hast du im letzten Term ein delta verloren. Das brauchst du, sonst wird der Term nicht klein wenn delta klein wird.

Zitat:

Was mache ich nun mit $\begin{eqnarray*} s^4 \end{eqnarray*}$ ? und wie schätze $\begin{eqnarray*} |a^4-s^4| \end{eqnarray*}$ geeignet ab?

Wenn wir delta klein wählen, so ist s nahe an a -- wir können oBdA annehmen, dass $\begin{eqnarray*} |s| \leq 2 |a| \end{eqnarray*}$ , ansonsten schrumpfen wir $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ erneut.

Der Rest ist genauso wie du es vorher gemacht hast
$\begin{eqnarray*} a^4 - s^4 = (a-s)(a+s)(a^2+s^2) \end{eqnarray*}$ , und damit hast du einen Term der direkt durch delta kontrolliert wird (hast du selbst vorher geschrieben), und jede Menge Terme die man brutal nach oben abschätzen kann.

09.05.2015, 10:48

StrunzMagi

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Danke!!
Zusammengefasst:
Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ beliebig
$\begin{eqnarray*} x_0=a+ib \in \mathbb{C} \setminus \{0\}, \forall x =s+it \in \mathbb{C}: |x_0-x|< \delta \end{eqnarray*}$
Wobei $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ so gewählt wird, dass $\begin{eqnarray*} x\not=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \delta < \min\{ \frac{|x_0|}{2}, |a|\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x_0)-g(x)| = |\frac{a^4}{a^2+b^2} - \frac{s^4}{s^2+t^2} = \frac{|a^4(s^2+t^2)-s^4(a^2+b^2)}{|x_0|^2*|x|^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \le \frac{|a^4(s^2+t^2)-s^4(s^2+t^2)+s^4(s^2+t^2)-s^4(a^2+b^2)|}{1/4 |x_0|^4}\le \frac{(|a^4-s^4|(\delta+|x_0|)^2+s^4((||x|^2-|x_0|^2)}{1/4 |x_0|^4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \le \frac{(|a^4-s^4|(\delta+|x_0|)^2+s^4 \delta(\delta + 2|x_0|)}{1/4 |x_0|^4} \end{eqnarray*}$ (*)

Nun $\begin{eqnarray*} |a^4-s^4|=|(a-s)||(a+s)||(a^2+s^2)| \le \delta (2|a|+\delta)(|a|^2+(\delta+|a|)^2) \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} \sqrt{(a-s)^2} < \delta \iff |a-s|<\delta \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |s-a|<\delta \Rightarrow |s| < \delta + |a| \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} |s-a|< \delta \Rightarrow |s|-|a| <\delta \Rightarrow |s|<\delta + |a| \end{eqnarray*}$
Wähle $\begin{eqnarray*} \delta < |a| \Rightarrow |s|< \delta + |a|<2|a| \end{eqnarray*}$

Insgesamt
(*) $\begin{eqnarray*} \frac{(|a^4-s^4|(\delta+|x_0|)^2+s^4 \delta(\delta + 2|x_0|)}{1/4 |x_0|^4}<\frac{(\delta (2|a|+\delta )(|a|^2+(\delta+|a|)^2))(\delta+|x_0|)^2+(2|a|)^4 \delta(\delta + 2|x_0|)}{1/4 |x_0|^4} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe es genügt ohne exakte Angabe von \delta zu sagen, dass man delta so wählen kann dass der Ausdruck $\begin{eqnarray*} < \epsilon \end{eqnarray*}$ für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ gilt.

09.05.2015, 15:03

IfindU

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Sieht richtig aus Freude

Formal würde man schreiben. Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ , x_0, x usw.

Bemerke, dass
$\begin{eqnarray*} \frac{(\delta (2|a|+\delta )(|a|^2+(\delta+|a|)^2))(\delta+|x_0|)^2+(2|a|)^4 \delta(\delta + 2|x_0|)}{1/4 |x_0|^4} \to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0 < \delta \to 0 \end{eqnarray*}$ . Damit existiert $\begin{eqnarray*} \delta_0 \end{eqnarray*}$ s.d. für alle $\begin{eqnarray*} 0 < \delta \leq \delta_0 \end{eqnarray*}$ gilt
$\begin{eqnarray*} \left|\frac{(\delta (2|a|+\delta )(|a|^2+(\delta+|a|)^2))(\delta+|x_0|)^2+(2|a|)^4 \delta(\delta + 2|x_0|)}{1/4 |x_0|^4}\right| < \epsilon \end{eqnarray*}$
Wähle dann
$\begin{eqnarray*} \delta = \frac 1 2 \min \{ \frac { |x_0| } 2, |a|, \delta_0 \} \end{eqnarray*}$ , und dann geht die ganze Rechnung durch und du bist am Ende dazu berechtigt $\begin{eqnarray*} < \epsilon \end{eqnarray*}$ zu ergänzen und bist fertig.

Ob man zeigen muss, dass die oben genannte Folge wirklich eine Nullfolge ist... Ich würde es nicht erwarten, ich würde aber auch nicht erwarten die Stetigkeit für so eine Funktion per Hand zu zeigen. Nicht wenn man schneller und eleganter zeigen kann, dass Zähler und Nenner
('nirgendwo' 0) separat stetig sind, und dann noch genug Zeit und Platz hat zu zeigen, dass Quotienten stetig sind.

Daher...keine Ahnung ob dus zeigen musst.

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