Konvergenz / Divergenz Kriterium

08.05.2015, 13:37	LordKelvin	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz / Divergenz Kriterium Meine Frage: Hallo liebe Mathe-Freunde, ich kann folgendes nicht ganz einordnen: Es soll gezeigt werden welche der folgenden Aussagen Kriterien für Konvergenz bzw. Divergenz sind: $\begin{eqnarray} <br /> a): \forall \varepsilon > 0 \; \exists N \in \mathbb{N}: \vert a-a_n \vert > \varepsilon \forall n \geq N \\<br /> b): \exists \varepsilon > 0 \wedge \; \exists N \in \mathbb{N}: \vert a- a_n \vert < \varepsilon \forall n \geq N \\<br /> c): \exists \varepsilon > 0: \vert a-a_n \vert > \varepsilon \forall<br /> n \in \mathbb{N}<br /> \end{eqnarray}$ Direkt soll man es jedoch nicht zeigen, es würde reichen wenn man ein Beispiel oder Gegenbeispiel für Konvergenz finden würde. Meine Ideen: Ich habe dann versucht an ein paar Beispielen dass zu zeigen: Aber ich kann es irgendwie nicht schlüssig begründen / zeigen, was meine Vermutungen sind: a): Die erste Aussage a) überprüft die Divergenz einer Folge. Ein Beispiel: Die Folge $\begin{eqnarray} a_n= (-1)^n \end{eqnarray}$ ist eine divergente Folge. Wenn wir nun die Aussage überprüfen dann gilt $\begin{eqnarray} \vert (-1)^1 - (-1)^2 \vert > \varepsilon \Leftrightarrow 0 > \varepsilon \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \varepsilon \end{eqnarray}$ muss die Bedingung $\begin{eqnarray} \varepsilon > 0 \end{eqnarray}$ erfüllen und dies ist jedoch nicht für $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ gewährleistet. Eine konvergente Folge hingegen, wie z.B. $\begin{eqnarray} a_n = \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ die gegen $\begin{eqnarray} a=0 \end{eqnarray}$ konvergiert würde die Aussage: $\begin{eqnarray} \vert 0 - \frac{1}{2} \vert > \varepsilon \Leftrightarrow \frac{1}{2} >\varepsilon \end{eqnarray}$ und weil $\begin{eqnarray} \forall \varepsilon > 0 \end{eqnarray}$ die Aussage wahr sein muss, würde z.B $\begin{eqnarray} \varepsilon=1 \end{eqnarray}$ die Aussage falsch sein. Für die anderen ist mir noch nicht so viel eingefallen: Die zweite Aussage b) ist ein Kriterium für Konvergenz. Man nehme die konvergente Folge: $\begin{eqnarray} a_n = 1- \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ die gegen $\begin{eqnarray} a=0 \end{eqnarray}$ konvergiert. $\begin{eqnarray} \vert 0- (1- \frac{1}{n}) \vert = 1 + \frac{1}{n} < \varepsilon \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n\geq N \end{eqnarray}$ ist Aussage für ein beliebige $\begin{eqnarray} \varepsilon > 0 \end{eqnarray}$ wahr. Kann man dies für die erste Aussage so begründen ? / Sind meine Aussagen richtig? Vg LordK
10.05.2015, 18:16	LordKelvin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz / Divergenz Kriterium Kann mir keiner helfen?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »