Indefinitheit der Hessematrix

08.05.2015, 14:52

Extroidi

Indefinitheit der Hessematrix

Hallo,

ich soll bestimmen, wann die Hesse-Matrix von $\begin{eqnarray*} x^y \end{eqnarray*}$ mit x>0 nicht definit ist.

Ich erhalte zunächst einmal folgende partiellen Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} f_{xx} = y\cdot(y-1)\cdot x^{y-2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{yy} = x^y \cdot ln(x)^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_{xy} = f_{yx} = x^{y-1}\cdot (1+y\cdot ln(x)) \end{eqnarray*}$

Damit die Hessematrix indefinit ist, muss

$\begin{eqnarray*} f_{xx} < 0 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f_{xx} \cdot f_{yy} - 2f_{xy} > 0 \end{eqnarray*}$

sein (nach dem Hauptminorenkriterium).

Da für x ohnehin gilt $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$ betrachte ich nur die entsprechenden y und Skalare, sodass ich erhalte:

Für den 1. Hauptminoren muss gelten $\begin{eqnarray*} y \cdot (y-1) < 0 <=> y^2 < y <=> |y| < 1 \end{eqnarray*}$ .

Für den 2. Hauptminoren muss gelten $\begin{eqnarray*} y^2 - 3y > 0 <=> y^2 > 3y <=> y > 3 \end{eqnarray*}$ (oder: y=0)

Damit ist die Hessematrix aber nur dann indefinit, wenn y=0. ?!

08.05.2015, 14:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von Extroidi
Damit die Hessematrix indefinit ist, muss

$\begin{eqnarray*} f_{xx} < 0 \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f_{xx} \cdot f_{yy} - 2f_{xy} > 0 \end{eqnarray*}$

Wo hast du denn das her??? unglücklich

Indefinit ist die Hessematrix, wenn sie sowohl positive als auch negative Eigenwerte besitzt. Bei Dimension 2 ist das gleichbedeutend damit, dass die Determinante negativ ist, d.h.

$\begin{align*} f_{xx}\cdot f_{yy} - f_{xy}^2 < 0 \end{align*}$ .

08.05.2015, 16:06

Extroidi

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Hi,

stammt aus einer Vorlesung. War offensichtlich Quatsch!

Wir haben auch notiert, dass $\begin{eqnarray*} f_{yy} \end{eqnarray*}$ irrelevant ist, um die Definitheit zu ermitteln..

Wie hängt denn die Aussage "Eigenwerte haben unterschiedliche Vorzeichen" mit "Determinante der Matrix ist negativ" zusammen?

08.05.2015, 16:31

HAL 9000

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Uhh, Algebra-Lücken:
Entsprechende Vielfachenheiten berücksichtigend, ist die Determinante gleich dem Produkt der Eigenwerte einer Matrix. Was bei einer 2x2-Matrix besonders übersichtlich ausfällt.

08.05.2015, 16:59

Extroidi

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Danke.

Mit deiner Korrektur von oben erhalte ich nun für die Determinante der Hesse-Matrix an der Stelle (x,y) folgendes Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} Det H_f (x,y) = -x^{2y-2} \cdot (1 + 2 \cdot y \cdot ln(x) + y \cdot ln(x)^2) \end{eqnarray*}$ .

Dieser Term muss negativ sein, was dann der Fall ist, wenn der zweite Faktor positiv ist:

$\begin{eqnarray*} 1 + 2 \cdot y \cdot ln(x) + y \cdot ln(x)^2 > 0 \end{eqnarray*}$ .

Bin ich bis hierhin auf dem richtigen Weg?

Ich hätte nun im Weiteren unterschieden:

Fall A: x = 1 -> dann ist die Indefinitheit für alle y erfüllt
Fall B: 0 < x < 1 -> ??
Fall C: x > 1 -> ??

08.05.2015, 17:02

HAL 9000

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Na, ich würde die Fallunterscheidung bzgl. $\begin{align*} x \end{align*}$ eher basierend auf der Faktorisierung

$\begin{align*} y\ln(x)(2+\ln(x)) > -1 \end{align*}$

treffen.

08.05.2015, 17:34

Extroidi

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Für x=1 ist die Ungleichung für alle y erfüllt.

Für x > 1 ... ist ln(x) auf jeden Fall positiv.
D.h. für alle $\begin{eqnarray*} y \ge 0 \end{eqnarray*}$ stimmt es wenigstens.
Dann gibt es aber noch einige weitere Bereiche, in denen die Ungleichung stimmt, selbst dann, wenn y negativ ist. Nur wie erhalte ich die?!

Für x < 1 .. ist ln(x) auf jeden Fall negativ.
Weitere klare Aussagen erkenne ich nicht unbedingt..
Wenn x nahe genug an 1 liegt, dann kann y doch bist ins negativ-Unendliche gehen?
Wenn x allerdings sehr nahe an 0 liegt, sieht das wieder ganz anders aus..

Ich übersehe etwas - was?

08.05.2015, 19:45

HAL 9000

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Normale Prinzipien der Ungleichungslösung beachten:

Abgesehen von den Sonderfällen $\begin{align*} \ln(x)=0 \end{align*}$ (also $\begin{align*} x=1 \end{align*}$ ) sowie $\begin{align*} \ln(x)=-2 \end{align*}$ (also $\begin{align*} x=e^{-2} \end{align*}$ ) will man natürlich die Ungleichung durch $\begin{align*} \ln(x)(2+\ln(x)) \end{align*}$ dividieren. Aber man muss auch das Vorzeichen dieses Terms in den Intervallen dazwischen kennen, wenn man die Ungleichung nach $\begin{align*} y \end{align*}$ auflösen will. Für $\begin{align*} x>1 \end{align*}$ ist es positiv, für $\begin{align*} e^{-2}<x<1 \end{align*}$ ist es negativ, für $\begin{align*} 0<x<e^{-2} \end{align*}$ aber wieder positiv...

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