DGL 2. Ordnung Störfunktion

Neue Frage »

09.05.2015, 17:57	Tempi	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL 2. Ordnung Störfunktion Hi, es geht um folgende DGL: $\begin{eqnarray} y''+2y'+y=e^{-x}sin(2x) \end{eqnarray}$ Die homogene Lösung erhalte ich mit $\begin{eqnarray} \lambda²+2\lambda +1=0 \end{eqnarray}$ deren doppelt Nullstelle $\begin{eqnarray} \lambda_{1,2} =-1 \end{eqnarray}$ ist. Die allgemeine homogene Lösung ist dann $\begin{eqnarray} y_{h}=c_{1}e^{-x}+c_{2}xe^{-x} \end{eqnarray}$ Nun komme ich zum Störglied: Das Störglied $\begin{eqnarray} s_{(x)}=e^{-x}sin(2x) \end{eqnarray}$ übersetze ich jetzt ins Komplexe. $\begin{eqnarray} s^_{x}=e^{-x}e^{2ix}=e^{(-1+2i)x}\ \end{eqnarray}$ Da keine Resonanz vorliegt wähle ich den Ansatz $\begin{eqnarray} z_{speziell}=z_{p}=ae^{(-1+2i)x} \end{eqnarray}$ Dieser wird zweimal Abgeleitet zu $\begin{eqnarray} z'_{p}=a(-1+2i)e^{(-1+2i)x} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z''_{p}=a(-1+2i)²e^{(-1+2i)x} \end{eqnarray}$ Das setze ich dann ein in die DGL $\begin{eqnarray} z_{p}''+2z_{p}'+z_{p}=s^_{x} \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} <br /> a(-1+2i)²e^{(-1+2i)x}+2a(-1+2i)e^{(-1+2i)x}+ae^{(-1+2i)x}=e^{(-1+2i)x} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow a(-1+2i)²+2a(-1+2i) +a=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow a(1-4i-4)-2a+4ai+a=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow a-4ai-4a-2a+4ai+a=1\Rightarrow-4a=1<br /> <br /> \Rightarrow a=-\frac{1}{4} \end{eqnarray}$ Jetzt kann ich einsetzen und erhalte $\begin{eqnarray} z_{p}=-\frac{1}{4}e^{(-1+2i)x} \end{eqnarray}$ Nur wie übersetze ich die diese komplexe spezielle Lösung zurück ins reelle? Meine Idee: $\begin{eqnarray} z_{p}=-\frac{1}{4}e^{-x}(cos(2x)+isin(2x)) \end{eqnarray}$ Davon ist der Realteil $\begin{eqnarray} \Re(z_{p})=-\frac{1}{4}e^{-x}cos(2x) \end{eqnarray}$ dund ich hätte gesagt das ist dann auch mein $\begin{eqnarray} y_{p} \end{eqnarray}$ doch laut den Lösungen ist der Imaginärteil $\begin{eqnarray} \Im(z_{p})=y_{p}=-\frac{1}{4}e^{-x}sin(2x) \end{eqnarray}$ Warum ist der imaginäre Teil der Lösung meine reelle Lösung? Das verstehe ich nicht und widerspricht sich doch sogar?
09.05.2015, 18:07	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL 2. Ordnung Störfunktion Hallo das mit dem Komplexen ist viel zu umständlich und zeitintensiv . Dafür gibt es Tabellen und Du bist in wenigen Minuten fertig. Ansatz: $\begin{eqnarray} y_{p} = \frac{Acos(2x)}{e^{x} } +\frac{Bsin(2x)}{e^{x} } \end{eqnarray}$
09.05.2015, 18:18	Tempi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hilfsmittel (Tabellen) dürfen bzw. sollen wir im Studium nicht benutzen, da die Prüfung auch ohne stattfindet.
09.05.2015, 20:07	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn das so ist , kannst Du den Ansatz (y_p) auch bequem über die Wronsky Determinate ausrechnen.
09.05.2015, 20:19	Khaleb	Auf diesen Beitrag antworten »
Variation der konstanten Das der imaginärteil deines ansatzes die lösung ist erklärt sich daraus, das der imaginärteil deines ansatzes die störfunktion ist. $\begin{eqnarray} e^{-x} { sin}( 2 x) = Im( e^{ (-1+2i)x}) \end{eqnarray}$ du setz ja deinen ansatz in die komplexe gleichung ein um die konstante a zu berechnen und durch imaginärteilbildung entsteht daraus die ursprünglüche gleichung. Alternativ könntest du den sin der störfunktion durch e funktionen darstellen und dann jeweils die 2 entstehenden komplexen glechunge mit einem ansatz zu lösen und dann die beiden lösungen addieren.
09.05.2015, 20:55	Tempi	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann man dann allgemein sagen der Imaginärteil der komplexen Lösung, also $\begin{eqnarray} \Im(z_{p}) \end{eqnarray}$ , ist die reelle Lösung $\begin{eqnarray} y_{p} \end{eqnarray}$ ?
Anzeige

09.05.2015, 21:20	Khaleb	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, kann man nicht allgemein sagen Wenn die störfunktion $\begin{eqnarray} e^{-x}cos( 2x) \end{eqnarray}$ ist würdest du natürlich den realteil nehmen. Allgemeiner kannst du du nur die vorkommenden sin und cos durch e funktionen ersetzen und jeden e anteil als störfunktion der gleichung anzusetzen und dann die gelösten teilansätze addieren nach $\begin{eqnarray} cos(x) = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \end{eqnarray}$ etc, oder für jeden sin den imaginärteil und jeden cos den realteil nehmen, da die dgl linear sind kannst du ja lösungsfunktionen addieren und die störanteile gleichzeitig auch. Eine andere lösungsmöglichkeit für lineare dgl mit konstanten koeffizienten ist laplace-transformation, loesung und dann laplace-rücktransformation falls ihr das in der vorlesung gelernt habt. Fur lineare dgl mit koeffizientenfunktionen kann man noch die methode "variation der konstanten" verwenden um aus der lösung der homogenen gleichung eine partikuläre lösung der inhomogenen gleichung aufzusuchen.
09.05.2015, 21:43	Khaleb	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemein Sei $\begin{eqnarray} L (y) = y_p \end{eqnarray}$ ,wobei L ein linearer differentialoperator mit reellen koeffizienten ist und y und $\begin{eqnarray} y_p \end{eqnarray}$ funktionen von x sind. Dann gilt natürlich $\begin{eqnarray} Re(L (y )) = L (Re(y) )= Re( y_p) \end{eqnarray}$ und Das gleiche für imaginärteil. Das ist was Du benutzt, in deinem fall mit imaginärteil.
09.05.2015, 23:25	Tempi	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann kommt die Störfunktion $\begin{eqnarray} s(x) \end{eqnarray}$ selbst auch immer in der speziellen Lösung $\begin{eqnarray} y_{p} \end{eqnarray}$ vor? Oder ist das hier nur Zufall? Mir fehlt irgendwie noch etwas der Überblick über die ganze Vorgehensweise
10.05.2015, 00:17	Khaleb	Auf diesen Beitrag antworten »
Habmich verschrieben Tut mir leid, ich hab mich verachrieben. Es sollte natürlich heissen $\begin{eqnarray} L (y) = s \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Re(L (y)) = L( Re(y)) = Re(s) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} L = a_n \frac{d^n}{dx^n} + a_{n-1}\frac{d^{n-1}}{d^{n-1}}+ ...+ a_0 \end{eqnarray}$ .in Deinem Fall halt $\begin{eqnarray} L = \frac{d_2}{dx^2} + 2\frac{d}{dx} + 1 \end{eqnarray}$ Ich hoffe dass ist jetzt klarer?
10.05.2015, 00:59	Tempi	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Schreibweise ist mir überhaupt nicht geläufig, aber ich denke du willst mir sowas sagen wie $\begin{eqnarray} \Re(z(x))'=\Re(z'(x)) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Im(z(x))'=\Im(z'(x)) \end{eqnarray}$ . Nur wie bezieht sich das in meine Fragestellung mit ein?
10.05.2015, 08:32	Khaleb	Auf diesen Beitrag antworten »
genau Du hast eigentlich eine reelle störfunktion. Statt dessen nimmst du aber eine komplexe störfunktion, deren imaginärteil deine ursprünglichs reelle störfunktion ist. Für diese störfunktion l öst du mit deinem ansatz die dgl. Dann nimmst du von beiden Seiten der dgl mit der komplexen störfunktion den imaginärteil. Rechts steht dann wieder die reelle störfunktion. Auf der linken Seite siehst du dass du nur den imaginärteil deiner lösungsfunktion nehmen musst um die dgl zu erfüllen. Das ist was dir die obige gleichung allgemein sagen soll.
10.05.2015, 16:31	Tempi	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay mit so einer Ausformulierung fange ich schon mehr an. Ich denke ich habe es so ungefähr verstanden. Jetzt fehlt nur noch etwas mehr Übung

Neue Frage »

Antworten »

DGL 2. Ordnung Störfunktion

Verwandte Themen