Kern Bild und Rang einer linearen Abbildung

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Widooooo Auf diesen Beitrag antworten »
Kern Bild und Rang einer linearen Abbildung
Leider stehe ich ein bisschen auf der Leiter bei dieser Aufgabe da die Matrix nicht quadratisch ist... Könnte mir hier jemand weiterhelfen?

Betrachten Sie die lineare Abbildung T:



Frage 1: Geben Sie p und q an?
Frage 2: Bestimmen Sie ker(t) und im(T) sowie rank(T).
Frage 3: Kern und Bild sind Unterräume welcher Vektorräume?

Antwort1: p=4 , q=2

Ich kann Kern Bild Rang einer quadratischen matrix bestimmen, jedoch keine Ahnung was ich hier machen soll....

Ich hoffe ich hab den richtigen Bereich gefunden für dieses Thema.
Würde mich über Tipps wirklich sehr freuen !!

Vielen Dank
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Das Vorgehen ist hier nicht anders, zur Bestimmung von Kern, Bild und Rang stellt man das zugehörige LGS auf und löst dieses. smile
Widooooo Auf diesen Beitrag antworten »

Der Kern berechnet sich als Lösung des Gleichungssystems:

A*x=0





Da gibt es ja mehrere Möglichkeiten ???
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, es wird unendlich viele Möglichkeiten geben, da es sich um ein unterbestimmtes LGS handelt. Du wirst also Parameter einführen müssen, um den Kern zu bestimmen.
Widooooo Auf diesen Beitrag antworten »



a,b sind dann elemente aus allen positiven Nummern aus R ?

Bin ich auf dem richtigen Weg?
wopi Auf diesen Beitrag antworten »

in der zweiten Zeile deines Vektors muss wohl 2b-3a stehen.

es gibt keinen Grund, warum a und b ganzzahlig oder positiv sein müssten.
 
 
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Warum sollten denn nur positiv sein? Und ich komme auf ein anderes Ergebnis, wie bist du in deiner Rechnung denn vorgegangen?
Widooooo Auf diesen Beitrag antworten »



1 Glg. auf x2 umformen
2 Glg. auf x4 umformen



Okay das sollte jetzt der Kern von T sein oder ?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt sollte es stimmen, ja. Du kannst jetzt auch wieder setzen wenn du willst. Und wenn ihr euch schon mit Erzeugendensystemen eines Vektorraums beschäftigt habt, kannst du es noch weiter umformen, ansonsten ist die Darstellung als ein Vektor auch in Ordnung.
Widooooo Auf diesen Beitrag antworten »

was meinst du mit Erzeugendensystemen eines Vektorraums?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

http://de.wikipedia.org/wiki/Erzeugendensystem

So einen Begriff solltest du mit Google aber auch selbst nachschlagen können...
Widooooo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kern Bild und Rang einer linearen Abbildung
Betrachten Sie die lineare Abbildung T:



Frage 1: Geben Sie p und q an?
Frage 2: Bestimmen Sie ker(t) und im(T) sowie rank(T).
Frage 3: Kern und Bild sind Unterräume welcher Vektorräume?

Antwort1: p=4 , q=2

Antwort2:

ker(T)=

im(T)=span{}

rank(T)= dim(im(A)) = 4

Anwort3:
T: V -> W
ker(T) ist ein Unterraum von V
im(T) ist ein Unterraum von W

Habe ich alles richtig ?
Ich habe mir das mal durchgelesen auf wiki jedoch kann ich leider damit nichts anfangen unglücklich .... Blicke ich nicht durch was ich da machen soll...
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Also kennst du ja doch den Begriff des Erzeugendensystems, oder anders genannt: Span. unglücklich

Und für den Rang bzw. die Dimension solltest du noch einmal die Definition nachschlagen, dein Ergebnis stimmt nicht.
Widooooo Auf diesen Beitrag antworten »



Wir multiplizieren eine Matrix A mit einem beliebigen Vektor x und erhalten den Lösungsvektor b. Das Bild einer Matrix gibt an, welche Menge an Vektoren als Lösungen auftreten können.

Bild einer Matrix ist gleich den linear unabhängigen Spalten.



3 (oder mehr) Vektoren sind im R2 stets linear abhängig.

Das würde für mich jetzt bedeuten:

im(T)=span{}

rank(T)=2

Was sagt ihr dazu ? noch immer falsch unglücklich ?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ergebnis stimmt jetzt, allerdings solltest du noch begründen, warum es sich hierbei jetzt wirklich um das Bild handelt. Warum wählst du gerade diese beiden Vektoren aus?
Widooooo Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Hilfe dieser zwei Vektoren kann jeder andere Vektor des R2 als Linearkombination geschrieben werden.



Mit diesen beiden Vektoren geht das ziemlich gut daher habe ich sie ausgewählt, sollte ja theoretisch mit den anderen beiden auch funktionieren! Würde bedeuten das ich mir einfach 2 aussuchen könnte von den vier ?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Widooooo
Mit diesen beiden Vektoren geht das ziemlich gut daher habe ich sie ausgewählt, sollte ja theoretisch mit den anderen beiden auch funktionieren! Würde bedeuten das ich mir einfach 2 aussuchen könnte von den vier ?


Nein, gerade das eben nicht. Bei dieser Aufgabe lässt sich die Frage nach dem Bild in der Tat einfach ablesen, bei anderen Abbildungen muss das nicht der Fall sein. Ein übliches Vorgehen wäre es, den Gaußalgorithmus auf die transponierte Abbildungsmatrix anzuwenden.

Und für neue Fragen sollte in der Regel ein neuer Thread erstellt werden. Die Matrix und deine Eigenwerte passen nicht zusammen, überprüf noch einmal, ob du die Matrix korrekt abgeschrieben hast.
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