Welche Norm beim Nachweis für Kontraktion verwenden?

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Matheneuling1991 Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Norm beim Nachweis für Kontraktion verwenden?
Ich habe ein Gleichungssystem in R^2 und will nachweisen, dass es eine Lösung in einem Intervall I hat. (Quader)
Dazu habe ich nach Aufgabenstellung das Problem als Fixpunktproblem dargestellt; Nun ist alles bewiesen um den Banachschen Fixpunktsatz anwenden zu können, bis auf die Kontraktion...
Nun aber meine Frage: In der Aufgabenstellung ist keine spezifische Norm angegeben;
Darf ich dann jede beliebige Norm verwenden um meine Kontraktion zu zeigen und eine Kontraktionsrate zu berechnen oder was mache ich dann?

Ich kann auch gerne mal die Funktion zur Veranschaulichung geben, falls das hilft.. smile

, mein Bereich ist [-3,-2]x[3,4]

EDIT: Kleiner Fehler, große Wirkung, ich habe das Minus vor der Wurzel von 8-y vergessen, jetzt passt es.. smile
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

muss bezüglich der verwendeten Norm vollständig (d.h. ein Banachraum) sein.
Jetzt ist aber jeder endlichdimensionale normierte Raum ein Banachraum. D.h. du kannst jede beliebige Norm verwenden.


Edit: Jetzt wo ich mir die Funktion genauer angucke: Hast du die wirklich richtig aufgeschrieben? Um den Banachschen Fixpunktsatz anwenden zu können, muss eine Abbildung sein. Das ist sie aber nicht, z.B. wegen .

Wenn du also wirklich eine Selbstabbildung auf hast, dann muss bezüglich der verwendeten Norm (bzw. der davon induzierten Metrik) vollständig sein.

Edit2: OK, Fehler korrigiert. smile
Matheneuling1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey.. smile Danke für deine Antwort

Zum Beweis der Kontraktion rechnen wir mit der euklidischen Norm. Hierbei weisen wir die äquivalente Bedingung nach, dass die Jacobimatrix der Funktion bzgl. der zur euklidischen Norm verträglischen Frobeniusnorm kleiner als 1 ist.
Es gilt:

Als eine Abschätzung müssen x und y möglichst groß sein um den Audruck zu maximieren. Daher gilt für alle x,y in I:

Dies ist in unserem Fall der Kontraktionsfaktor.


Ist das so richtig??

EDIT: Du hast Recht, ich hatte mich verschrieben, ich hatte ein Minus vergessen, habe es korrigiert.. smile
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, alles richtig (wenn du aus dem noch ein 0 machst Augenzwinkern ).
Matheneuling1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Super, danke!!!!!!! smile smile
Ah eine Frage zu dem Kontraktionsfaktor: Wenn danach gefragt wird, könnte ich das auch extrem großzügig abschätzen, dass ich dann einen Kontr. faktor von 0.9 am Ende habe oder muss das genau passen?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Solange du den Faktor kleiner als 1 wählst, ist das völlig egal.
 
 
Matheneuling1991 Auf diesen Beitrag antworten »

Freude Dankeschön, du hast mir sehr geholfen.. Wünsche dir eine gute Nacht! smile
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, dir auch. Wink
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