Zusammenhang zwischen Summe der Matrizen und Summe der Eigenwerte?

10.05.2015, 16:19	Saftkeks	Auf diesen Beitrag antworten »
Zusammenhang zwischen Summe der Matrizen und Summe der Eigenwerte? Meine Frage: Ich sitze gerade an einem Beweis, den ich zu verstehen versuche. Dabei geht es ganz zentral auch um die Eigenwerte einer Matrix A. Im Beweis steht "Man sieht nun sofort ... und daraus folgt, dass ...", nur sehe ich da leider gar nichts. Hier der besagte Abschnitt: $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} k & 1 & ... & 1 \\ 1 & k & & 1 \\ ... & & ... & ... \\ 1 & ... & 1 & k \end{pmatrix} = (k-1)I + J \end{eqnarray}$ mit der Einheitsmatrix I und der Einsmatrix J. "Man sieht nun sofort, dass J die Eigenwerte n (mit Vielfachheit 1) und 0 (mit Vielfachheit n-1) hat." (Wer Wikipedia konsultiert hat hier auch schnell einen Beweis dafür gefunden.) "Daraus folgt, dass A die Eigenwerte $\begin{eqnarray} k-1+n = k^2 \end{eqnarray}$ (von Vielfachheit 1) und $\begin{eqnarray} k-1 \end{eqnarray}$ (von Vielfachheit n-1) hat." Meine Ideen: Die Eigenwerte der Einsmatrix sind, wie gesagt, nicht das Problem. Nun könnte man hingehen und sagen, für die Eigenwerte lambda von (k-1)I gilt: $\begin{eqnarray} det((k-1)I - \lambda I) = \begin{pmatrix} (k-1)-\lambda & 0 & ... & 0 \\ 0 & (k-1)-\lambda & & ... \\ ... & & ... & 0 \\ 0 & ... & 0 & (k-1)-\lambda \end{pmatrix} = ((k-1)-\lambda)^n = 0 \end{eqnarray}$ Damit hätte man dann n-mal den Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda = k-1 \end{eqnarray}$ Wenn man jetzt die Eigenwerte von J und (k-1)I addiert erhält man: 1-mal: n + k - 1 = k^2 (in diesem Fall, wird früher definiert...) (n-1)-mal: 0 + k - 1 Es scheint hier so aufzugehen. Nur: darf man das hier? Wenn ja, wieso? Zur Addition von Matrizen und ihren Eigenwerten gibt es keinen allgemeingültigen Satz, zumindest keinen, den ich gefunden hätte. Und wieso: Man sieht sofort und daraus folgt...? Habe ich irgendetwas triviales übersehen? Vielen Dank schonmal!
10.05.2015, 16:52	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, für jeden Vektor x gilt: ist Ax=((k-1)I+J)x=(k-1)Ix+Jx=(k-1)x +Jx Setz Eigenvektoren von J ein und schon steht da, was du haben willst.
23.05.2015, 12:56	Saftkeks	Auf diesen Beitrag antworten »
Habs leider jetzt erst zu diesem Problem zurück geschafft. Und tatsache - du hast Recht. Vielen Dank für den Augenöffner!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »