Komplexe Zahlenmenge zeichnen

10.05.2015, 16:29

Kequazo

Komplexe Zahlenmenge zeichnen

Meine Frage:
Kurze Frage zum zeichnen einer Menge der Komplexen Zahlen.

ich soll die Punktemenge der Gleichung

$\begin{eqnarray*} | 2z+1-i | \leq 2 \end{eqnarray*}$ zeichnen

mit z=a+bi

komme ich auf
$\begin{eqnarray*} | 2(a+bi)+1-i | =| 2a+1+i*(2b-1)|= \sqrt{(2a+1)^{2}+(2b-1)^{2} } =a^{2}+a +b^{2} -b+\frac{1}{2}\leq 1 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} a^{2}+a +b^{2} -b+\frac{1}{2}\leq 1 \end{eqnarray*}$ komme ich allerdings nicht weiter, wie ich daraus die Menge zeichnen soll.

Meine Ideen:

10.05.2015, 16:59

Captain Kirk

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Hallo,

in deiner Rechnung kann ich die letzte Gleichung und Ungleichung nicht nachvollziehen.

Was ist den anschaulich die Menge aller Punkte mit |z|=2?

10.05.2015, 17:05

Kequazo

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Das is der Wurzelterm ausmultipliziert, quadirert um die Wurzel wegzubekommen(dann hab cih wo vorher die 2 stand ne 4) und dann beide Seiten durch 4 geteilt.

Ja das is en Kreis mit Radius 2, da kleiner gleich die Kreisfläche mit Radius 2. Und das ganze noch verschoben um 1 in Realteilrichtung und -1 in Imaginärteilrichtung, oder?

Wollte das ganze aber so rechnerisch angehen, ob man daraus dann was sehen kann. Allerdings kann ich mir unter der Gleichung am Ende weniger vorstellen als unter der anfänglichen

10.05.2015, 17:10

Captain Kirk

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Zitat:

Das is der Wurzelterm ausmultipliziert, quadirert um die Wurzel wegzubekommen(dann hab cih wo vorher die 2 stand ne 4) und dann beide Seiten durch 4 geteilt.

Dann ist es auch kein Wunder dass ich es nicht nachvollziehen kann.
Was du beschreibst ist eine Gleichungskette oder Äquivalenz von Gleichungen.

Du hast es als eine Gleichung hingeschrieben, das ist was komplett anderes. (Und natürlich völlig falsch so wie du es geschrieben hast.)

Zitat:

Wollte das ganze aber so rechnerisch angehen, ob man daraus dann was sehen kann.

Falsches Vorgehen. Du bringst es auf die Form einer Kreisgleichung, und dann kann man es ablesen.

10.05.2015, 17:15

Kequazo

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die Kreisgleichungsform wäre demnach
$\begin{eqnarray*} \sqrt{(2a+1)^{2}+(2b-1)^{2} } \leq 2 \end{eqnarray*}$
bzw $\begin{eqnarray*} (2a+1)^{2}-4\leq -(2b-1)^{2} \end{eqnarray*}$

10.05.2015, 17:23

Captain Kirk

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Du hast komplexe Zahlen, dann nimm doch auch die komplexe Darstellung der Kreisgleichung...

10.05.2015, 17:36

Kequazo

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hatte mich mit dieser noch nie beschäftigt bzw noch nie gesehn

also laut wiki ist die Darstellung $\begin{eqnarray*} | z-m | =r \end{eqnarray*}$

in meinem Fall müsste das man dann $\begin{eqnarray*} m=-1+i \end{eqnarray*}$ sein. Das ist der Mittelpunkt des Kreises.

10.05.2015, 17:46

Captain Kirk

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Die Darstellung ist richtig, dein m ist es nicht.
Eine ganz kleine Rechnung musst du hier schon machen.

10.05.2015, 17:48

Kequazo

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Ne ich meinte jetzt allgemein.

Bei Radius und Mittelpunktskoordinaten muss ich noch jeweils die Hälfte nehmen. Da mein Z nur halb so groß ist wie das Z bei wiki.

Also Kreisfläche um -0,5+0,5i mit Radius 1

10.05.2015, 18:12

Captain Kirk

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Zitat:

Also Kreisfläche um -0,5+0,5i mit Radius 1

Richtig.

10.05.2015, 18:28

Kequazo

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noch ne ganz andere Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} {z\in \mathbb C :| z-w_{1} | =| z-w_{2} | ,w_{1},w_{2}\in \mathbb C fixiert} \end{eqnarray*}$

soll ich zeichnen.
Das sind doch einfach Kreise mit dem Radius $\begin{eqnarray*} | z-w_{1} | \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} | z-w_{2} | \end{eqnarray*}$ um den Ursprung. w2 is ja von w1 abhängig, also einfach Kreis malen und Radius $\begin{eqnarray*} | z-w_{1} | \end{eqnarray*}$ dranschreiben

10.05.2015, 20:03

HAL 9000

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Kreise wären es, wenn dieser Betrag konstant ist - wie im ersten Beispiel oben.

Ist er aber nicht: Tatsächlich sind alle diejenigen Punkte $\begin{align*} z \end{align*}$ gesucht, die von $\begin{align*} w_1 \end{align*}$ denselben Abstand wie von $\begin{align*} w_2 \end{align*}$ haben - aber über die gesamte Punktmenge genommen ist dieser Abstand nicht konstant. unglücklich

Geometrisch ist das sofort klar: Das ist die Mittelsenkrechte der beiden Punkte $\begin{align*} w_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} w_2 \end{align*}$ in der Gausschen Zahlenebene. Was natürlich auch per Rechnung rauskommt.

10.05.2015, 20:38

Kequazo

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wie wäre denn die Rechnung, hab das natürlich versucht aber am Ende das Ergebnis nicht wirklich interpretieren können.

Habe halt mal für $\begin{eqnarray*} z=a+bi \end{eqnarray*}$ eingesetzt auf beiden seiten und für $\begin{eqnarray*} w_{1}=x_{1}+iy_{1} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} w_{2}=x_{2}+iy_{2} \end{eqnarray*}$

Dann eben alles zusammengefasst was geht aber am Ende nichts mehr erkannt

10.05.2015, 20:42

HAL 9000

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Zumindest dass eine Geradengleichung herauskommt, solltest du schon erkennen.

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