Sind die folgenden Polynome in Z[x] irreduzibel?

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YYnerdiQ Auf diesen Beitrag antworten »
Sind die folgenden Polynome in Z[x] irreduzibel?


Es gibt das Verfahren von Eisenstein, was aber nicht anwendbar ist. Zumindest so wie ich es verstanden habe kann ich es auf keines der Polynome anwenden.

Wenn ich jetzt zum Beispiel das Polynom f modulo 2 nehme. Erhalte ich


Annahme:




1. Fall grad(g) = 1

hat Nullstelle

Einsetzen von 0,1,2,3 liefert keine Nullstelle Widerspruch

2. Fall grad(g) = grad(h) = 2

Ansatz :




durch rechnen kommt man auf das Ergebnis das f irreduzibel in und dadurch auch irreduzibel in .

(Wenn ich aber modulo 2 nehme erhalte ich ja nur was mir ja Nullstellen liefern würde in deswegen glaube ich habe ich etwas nicht ganz verstanden weswegen ich die anderen Aufgaben auch noch nicht habe.

Hilfe wäre sehr willkommen. Danke im voraus.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Wenn ich jetzt zum Beispiel das Polynom f modulo 2 nehme. Erhalte ich

Du tust was anderes als das was du sagst. Wo kommt die 4 her?

Es gibt auch noch andere Primzahlen als 2.


Zitat:
Annahme:




1. Fall grad(g) = 1

hat Nullstelle

Einsetzen von 0,1,2,3 liefert keine Nullstelle Widerspruch

Wieso so umständlich? Das geht direkt ohne Widerspruch.
YYnerdiQ Auf diesen Beitrag antworten »

Das weiß ich allerdings auch nicht wieso ich das geändert habe....weil ich es ja unten dann nochmal hingeschrieben hab.

Naja kenne leider nur diesen Weg, da wir den in der Vorlesung behandelt haben.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Es gibt auch noch andere Primzahlen als 2.
YYnerdiQ Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich jetzt mod 3, mod 5 nehme erhalte ich



und wir haben wieder keine Nullstellen. Aber das Polynom lässt sich als schreiben und wenn ich das richtig verstanden habe ist es damit ja reduzibel in und somit nicht irreduzibel in
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aber das Polynom lässt sich als schreiben

Nein, die Polynome unterscheiden sich um 1. (Oder man kann beim ersten 2 ausklammern)

Zitat:
und somit nicht irreduzibel
Nein, der Satz macht keinerlei Aussage falls das reduzierte Polynom reduzibel ist.
 
 
YYnerdiQ Auf diesen Beitrag antworten »

Oops, da habe ich wohl gerechnet Hammer

Zum Verständnis: Ich muss ja zeigen, dass es ein Minimalpolynom ist, weil es weder in lineare noch in quadratische Terme zerfällt, oder?!

Wenn ich es also so aufschreibe.



Dann fällt ja eigentlich sofort auf, dass


sein muss und das hat ja nur die triviale Lösung

Also sollte kann ich das ja nicht weiter zerlegen.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
dass es ein Minimalpolynom ist,

Es ging hier um irreduzibel, oder?


Zitat:
sein muss und das hat ja nur die triviale Lösung

Also sollte kann ich das ja nicht weiter zerlegen.


Das erste ist richtig, jedenfalls in den ganzen Zahlen.
Das zweite verstehe ich nicht, bzw. nicht was das mit dem vorigen zu tun hat. Du hast mögliche Werte für die Leitkoeffizienten, es geht mit den anderen Koeffizienten weiter (Koeffizientenvergleich), bis sich ein Widerspruch ergibt.
(Und das ist etwas, das meist in endlichen Körpern einfacher geht als in den ganzen Zahlen.)
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