Matrix Kern,Dimension bestimmen allgemeine Verständnisfragen

10.05.2015, 19:22	moupep	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix Kern,Dimension bestimmen allgemeine Verständnisfragen Meine Frage: A:= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 &0 \\ 2 & 4 & 6 &1 \\ -1 & -5 & -6 & 1 \\ 2 & 2 & 4&2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Ist gegeben, wir sollen jetzt Kern(A) sowie dim(Kern(A)) bestimmen und ich stehe auf dem Schlauch, weil ich diese Begriffe einfach nicht wirklich verinnerlicht habe was diese bedeuten sollen. Kern: Wird die Matrix mit einem Vektor multipliziert und erhält dann den Nullvektor so ist der multiplizierte Vektor der Kern? Ich erhalte nach Umstellung der Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 &0 \\ 0 & -2 & -2 &1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Demnach erhalte ich den Lösungsvektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -C - 3/2D \\ -C+1/2D \\ C \\ D \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bin ich soweit auf dem richtigen Pfad? Meine Ideen: Lösungsvektor berechnen. Weil es doch unendlich viele Lösungen gibt, wäre die Lösung: $\begin{eqnarray} \left\{ Lambda \begin{pmatrix} -C - 3/2D \\ -C+1/2D \\ C \\ D \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$
11.05.2015, 07:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Probleme fangen schon vorher an, denn Du hast nicht verstanden, was Vektorräume und Untervektorräume mit linearen Abbildungen zu tun haben. Ein Vektorraum $\begin{eqnarray} (V,+,) \end{eqnarray}$ über einem Körper $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ist eine Menge $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ mit Addition $\begin{eqnarray} +:V\times V\to V \end{eqnarray}$ und skalarer Multiplikation $\begin{eqnarray} :K\times V \to V \end{eqnarray}$ , die den Vektorraumaxiomen genügt. Elemente von V heißen Vektoren. Jeder Vektorraum hat eine Basis (linear unabhängiges Erzeugendensystem), alle Basen eine Vektorraums haben dieselbe Mächtigkeit, diese heißt Dimension des Vektorraums. Eine nichtleere Teilmenge $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ist genau dann ein Untervektorraum, wenn sie bezüglich + und * abgeschlossen ist (UVR-Kriterium). Für eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray} f:V\to W \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} f(ax+by)=af(x)+bf(y)\;\forall a,b\in K\;\forall x,y\in V \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} Ker(f)=\{x\in V\|f(x)=0\}\le V,Bild(f)=\{f(x)\|x\in V\}\le W \end{eqnarray}$ sind Untervektorräume von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ . Zu einer linearen Abbildung $\begin{eqnarray} f:V\to W \end{eqnarray}$ gehört bezüglich zwei Basen $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ genau eine Darstellungsmatrix $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} f(x)=Mx \;\forall x\in V \end{eqnarray}$ . Der Rest ist Spezialisierung auf Endomorphismen (lineare Selbstabbildungen) $\begin{eqnarray} V=W \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B=C \end{eqnarray}$ und ein bißchen Rechentechnik mit dem Gaußschen Algorithmus. Leider hast Du Dich verrechnet, und wie das Ergebnis des Algorithmus zu interpretieren ist weißt Du auch nicht.

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