Epsilon-Delta und der Grenzwert

11.05.2015, 13:04

Kel

Epsilon-Delta und der Grenzwert

Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Differenzierbarkeit an der Stelle x0 = 0.
Benutzen Sie dafur nur die Definition der Differenzierbarkeit ( ¨ keine Ableitungsregeln!). Wenn
eine Funktion differenzierbar in x0 ist, berechnen Sie den zugeh¨origen Grenzwert. Anderenfalls
begrunden Sie, warum dieser Grenzwert nicht existieren kann.
$\begin{eqnarray*} f(x) = |x|, x0=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{|x+h| - |x|}{h} = \frac{|0+h| - |0|}{h} = \frac{|h|}{h}<br /> \end{eqnarray*}$
Funktion hat Fallunterscheidung, also schaue ich für h>0 = 1 und h<0 = -1.

LateX sagt mir was von "Please use \mathaccent for accents" und nimmt meine Formel nicht an ... ich benutze keine accents darin ........... also ohne TeX.

Delta-Epsilon:
für jedes e>0 ein d>0, sodass für jedes |x0 - x| < d folgt, dass |f(x0) - f(x)| < e.

für e<2 gibt es kein d, sodass aus |x0 - x| = |0 - x| < d auch |f(x0) - f(x)| = |0 - f(x)| < e folgt.
Z.B. gilt für $\begin{eqnarray*} x = 2 + \frac{d}{2} \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} f(x) = 2 + \frac{d}{2} \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} |-f(x)| = 2 + \frac{d}{2} \end{eqnarray*}$ > e.

Damit existiert kein Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x) \end{eqnarray*}$ .

Ist das soweit richtig gerechnet/bewiesen?

11.05.2015, 13:42

DerJFK

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Deine Aufgabe ist doch den Grenzwert des Differenzenquotien zu bestimmen. Aber du sprichst mit dem delta-epsilon Kriterium nur über die Stetigkeit von der Funktion f an der stelle $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Und leider stimmt deine Argumentation nicht, denn man kann $\begin{eqnarray*} \varepsilon = \delta \end{eqnarray*}$ wählen in diesem Fall.

Du solltest dir überlegen wie du das Verhalten von $\begin{eqnarray*} \frac{|h|}{h} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} h \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ bestimmen kannst.

EDIT:
du hattest oben doch schon geschrieben
h<0 =-1 und h>0 =1, dass müsstest du eben noch zeigen, auch wenn es klar erscheint smile

11.05.2015, 13:49

Kel

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Zitat:

Original von DerJFK
Deine Aufgabe ist doch den Grenzwert des Differenzenquotien zu bestimmen.

Ich dachte das mach ich mit dem Epsilon-Delta? geschockt

Zitat:

Original von DerJFKdu hattest oben doch schon geschrieben
h<0 =-1 und h>0 =1, dass müsstest du eben noch zeigen, auch wenn es klar erscheint smile

Wie zeige ich dass denn? Und ich dachte wenn ich 1 und -1 habe muss ich damit noch was machen - den dazugehörigen Grenzwert bestimmen laut Aufgabe?

Also $\begin{eqnarray*} \frac{|h|}{h} \end{eqnarray*}$ mit h->0 von rechts ist ja h>0 und damit $\begin{eqnarray*} \frac{h}{h} = 1 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \frac{|h|}{h} \end{eqnarray*}$ mit h->0 von links ist ja h<0 und damit $\begin{eqnarray*} \frac{h}{-h} = -1 \end{eqnarray*}$ .

11.05.2015, 13:58

DerJFK

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Wie habt ihr denn einen Grenzwert definiert? Wenn du diese Definition dann betrachtest, mit dem Wissen, dass die Funktion für eine Folge von h<0 gegen -1 und für eine Folge von h>0 gegen 1 konvergiert. Passt das dann überhaupt noch zu der Definition?

11.05.2015, 13:59

Kel

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Seite 68 - http://www.ti.inf.uni-due.de/fileadmin/p.../folien-2x2.pdf
Delta-Epsilon.

11.05.2015, 14:06

DerJFK

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Den Satz auf der Folie ist in Ordnung. Du musst dir nur mal überlegen wie die Funktion aussiehst du die hier eigentlich betrachtest. Und bei dieser musst du dann ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ finden so dass es kein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ gibt.

Deinen Ansatz von ganz oben kannst du dann quasi nochmal machen nur mit der richtigen Funktion.

11.05.2015, 14:08

Kel

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Zitat:

Original von DerJFK
Deinen Ansatz von ganz oben kannst du dann quasi nochmal machen nur mit der richtigen Funktion.

Die Funktion ist doch f(x) = |x|???
Oder meinst du die Fallunterscheidung x, falls x>=0, -x falls x<0?

Also die Antwort hilft mir jetzt überhaupt nicht Hammer

11.05.2015, 14:11

DerJFK

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Du hattest doch ganz oben geschrieben, du möchtest den Grenzwert von
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} \end{eqnarray*}$
bestimmen.

Wenn sich die Definition eines Grenzwertes auf eine Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ bzgl. $\begin{eqnarray*} \lim_{h \rightarrow 0} g(h) \end{eqnarray*}$ bezieht.

Wie sieht da bei dir $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ aus?

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