Umkehraufgabe Ellipse

11.05.2015, 17:24

Gamtja

Umkehraufgabe Ellipse

Problem:
Die Figur wird begrenzt durch die Gerade y =2,5, durch die Ellipse in zweiter Hauptlage ell: a²x²+b²y² =a²b², welche die Punkte P( $\begin{eqnarray*} 1/\sqrt{5} \end{eqnarray*}$ ) und Q( $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} /-1 \end{eqnarray*}$ ) enthält, sowie durch jene zur y-Achse symmetrische Polynomfunktion p(x) zweiten Grades, welche die Ellipse in Q berührt.

1.) Ermittel die Gleichung der Ellipse sowie die Gleichung p(x) = nx²+px+q

Idee:

Ich habe zwei Punkte der Ellipse, die ich in die Gleichung einsetzen kann.

P: a²+5b² = a²b²
Q: 2a²+b² = a²b²

Ich multipliziere die erste Gleichung mit 2.
P: 2a²+10b² = 2a²b²

Dann subtrahieren der beiden Gleichungen:
P-Q: 9b² = a²b²
a² = 9
a = 3

Dann kann ich a² in die Gleichung einsetzen und erhalte b = 3/2.

ell: a²x²+b²y² =a²b²
9x² + 9/4y² = 9*9/4 => y² = 9-4x²

So nun hab ich aber Probleme bei p(x).
p(x) = nx²+px+q

Ich kenne einen Schnittpunkt Q.
y( $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ) = p( $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} \sqrt{9-4\sqrt{2}} = n2+p\sqrt{2}+q \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie brauch ich mindestens 3 Gleichungen um hier weiterzukommen.

11.05.2015, 17:50

Leopold

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RE: Umkehraufgabe Ellipse

Zitat:

Original von Gamtja
$\begin{eqnarray*} \sqrt{9-4\sqrt{2}} = n2+p\sqrt{2}+q \end{eqnarray*}$

Die linke Seite verstehe ich irgendwie nicht. Ich dachte, der $\begin{align*} y \end{align*}$ -Wert von $\begin{align*} Q \end{align*}$ ist $\begin{align*} -1 \end{align*}$ .
Hast du bedacht, daß $\begin{align*} p=0 \end{align*}$ ist (Symmetrie der Parabel)? Merkwürdigerweise ist das in deiner Zeichnung berücksichtigt.

11.05.2015, 18:31

Gamtja

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RE: Umkehraufgabe Ellipse
Ich konnte die Zeichnung machen weil ich schno die Ergebnisse habe, aber nicht den Lösungsweg.

Was bedeutet symmetrisch zur y-Achse ?

Zitat:

Original von Leopold

Die linke Seite verstehe ich irgendwie nicht. Ich dachte, der $\begin{align*} y \end{align*}$ -Wert von $\begin{align*} Q \end{align*}$ ist $\begin{align*} -1 \end{align*}$ .

Ja das stimmt...

hab einen Fehler gemacht:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{9-4\cdot2} = n2+p\sqrt{2}+q \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sqrt{1} = n2+p\sqrt{2}+q = -1 \end{eqnarray*}$

13.05.2015, 15:41

Gamtja

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Ich komm hier nicht weiter,

also p(x) ist symmetrisch zu y-Achse, und hat den Punkt Q.

p(x) = nx²+px+q

Da die Funktion symmetrisch ist heißt das wohl das ich den Punkt 2mal verwenden kann, nämlich auch auf der gespiegelten Seite.

Q1( $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} /-1 \end{eqnarray*}$ )
Q2( $\begin{eqnarray*} -\sqrt{2} /-1 \end{eqnarray*}$ )

so...
Dann kann ich zwei Gleichungen aufstellen:
$\begin{eqnarray*} p(\sqrt{2}) = n2+p\sqrt{2}+q = -1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p(-\sqrt{2}) = -n2-p\sqrt{2}+q = -1 \end{eqnarray*}$

So, aber erstens brauch ich 3 Gleichungen und 2. bin ich mir nicht sicher ob das so stimmt.

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