Cauchy Integralformel

11.05.2015, 19:57

King_Jigga

Cauchy Integralformel

Folgende Aufgabe ist zu lösen:

$\begin{eqnarray*} \int_{| z+3i |=1 }^{b} \! \, \frac{1}{z^2+9} dz \end{eqnarray*}$

Nach Durchführung der PBZ komme ich auf folgendes :

$\begin{eqnarray*} \int_{| z+3i |=1 }^{b} \! \, \frac{-1/6i}{z-3i} + \frac{1/6i}{z+3i} dz \end{eqnarray*}$

Analytisch G: C(komplex) ohne 3i

Das erste Integral ist 0 !

Das zweite Integral ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6i} *2\pi *f(-3i) = \frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$

Zu meinem Problem

in der Lösung steht $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$

Woher kommt den nun das Minus ????

Wäre super wenn jemand hilft

12.05.2015, 21:55

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Cauchy Integralformel
Man weiß nicht so recht, was du mit $\begin{align*} 1/6i \end{align*}$ meinst. Meinst du $\begin{align*} \frac{1}{6 \operatorname{i}} \end{align*}$ , was ohne Bruchstrich korrekterweise $\begin{align*} 1/ \left( 6 \operatorname{i} \right) \end{align*}$ geschrieben werden müßte, oder meinst du $\begin{align*} \frac{1}{6} \operatorname{i} \end{align*}$ , wie es da steht?

Richtig ist jedenfalls das Folgende

$\begin{align*} \frac{1}{z^2 + 9} = \frac{\operatorname{i}}{6} \cdot \left( \frac{1}{z + 3 \operatorname{i}} - \frac{1}{z - 3 \operatorname{i}} \right) \end{align*}$

Hier verschwindet das Integral über den zweiten Summanden, es bleibt daher noch

$\begin{align*} \int_{\gamma} \frac{\dd z}{z^2 + 9} = \frac{\operatorname{i}}{6} \cdot \int_{\gamma} \frac{\dd z}{z + 3 \operatorname{i}} \end{align*}$

übrig ( $\begin{align*} \gamma \end{align*}$ sei die Integrationskurve).

Auch hier blickt man nicht so richtig durch:

Zitat:

Original von King_Jigga
Das zweite Integral ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{6i} *2\pi *f(-3i) = \frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$

Wenn man die linke Seite berechnet, ergibt sich jedenfalls $\begin{align*} - \frac{\operatorname{i} \pi}{3} \end{align*}$ , denn es ist ja $\begin{align*} \frac{1}{\operatorname{i}} = - \operatorname{i} \end{align*}$ . Irgendwie vermisse ich das $\begin{align*} \operatorname{i} \end{align*}$ bei den $\begin{align*} 2 \pi \end{align*}$ .

Lange Rede - kurzer Sinn: Überprüfe alle $\begin{align*} \operatorname{i} \end{align*}$ in deiner Rechnung. Gehören Sie in den Zähler oder in den Nenner? Brauchen sie ein Minuszeichen oder nicht?

14.05.2015, 13:29

King_Jigga

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Cauchy Integralformel
Hier verschwindet das Integral über den zweiten Summanden, es bleibt daher noch

$\begin{align*} \int_{\gamma} \frac{\dd z}{z^2 + 9} = \frac{\operatorname{i}}{6} \cdot \int_{\gamma} \frac{\dd z}{z + 3 \operatorname{i}} \end{align*}$

übrig ( $\begin{align*} \gamma \end{align*}$ sei die Integrationskurve).

Hallo ich kann das irgendwie nicht richtig nachvollziehen:
dass i muss doch auf jeden fall in den Nenner; wenn man die PBZ durchgeführt hat.

Ich habe folgendes:

$\begin{align*} \int_{\gamma} \frac{\dd z}{z^2 + 9} = \frac{\operatorname{-1}}{6i} \cdot \int_{\gamma} \frac{\dd z}{z + 3 \operatorname{i}} \end{align*}$

Aus dem Integral schließe ich dann folgendes :

$\begin{align*} \int_{\gamma} \frac{\dd z}{z^2 + 9} = \frac{\operatorname{-1}}{6i} \cdot \int_{\gamma} \frac{\dd z}{z + 3 \operatorname{i}} \end{align*}$ = $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{6i} * 2\pi*i *f(-3i) = -\frac{\pi }{3} \end{eqnarray*}$

mit f(-3i) = 1

So müsste es jetzt korrekt sein.

Könntest du mir nochmal kurz dein Feedback geben.

Schönen Feiertag

14.05.2015, 19:37

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

So stimmt es jetzt. Beachte: $\begin{align*} \frac{1}{\operatorname{i}} = - \operatorname{i} \end{align*}$ . Erweitere dazu mit $\begin{align*} \operatorname{i} \end{align*}$ .

Noch eine Kleinigkeit. Du solltest $\begin{align*} f(z) \end{align*}$ angeben. Du verwendest diesen Funktionsbezeichner, ohne die Funktion definiert zu haben. Natürlich hast du die Cauchysche Integralformel im Kopf und liest es dort ab. Schreib es trotzdem hin. Es ist besser.

15.05.2015, 08:57

King_Jigga

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen dank für deine Hilfe.

Stimmt, werde die Funktion f(z) ab sofort hinschreiben.

Schönes Wochenende .

Neue Frage »

Antworten »

Cauchy Integralformel

Verwandte Themen