Normalverteilung Kugel

11.05.2015, 20:58

KugelMugel

Normalverteilung Kugel

Meine Frage:
Hi,
ich möchte gerne die dichtefunktion einer Gleichverteilung bei einer kugeloberfläche bestimmen.Wie bei der einfachen Gleichverteilung muss ja eine konstante rauskommen.

Meine Ideen:
Meine Idee ist eigentlich ganz simpel. Die Oberfläche einer Kugel ist
$\begin{eqnarray*} 4 \pi r \end{eqnarray*}$ also müsste die Dichtefunktion
$\begin{eqnarray*} f(x,y,z) = \frac{1}{4 \pi r} \end{eqnarray*}$ sein.
Aber das geht nicht ganz auf...

11.05.2015, 21:29

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

In der Überschrift steht "Normalverteilung", im Text dann "Gleichverteilung" - ich liebe solche klaren Ansagen...

Ok, ich gehe mal davon aus, dass die Überschrift Unfug war, und du eine Gleichverteilung auf der Kugeloberfläche betrachten willst. Dann solltest du auch die Oberfläche passend parametrieren, was mit den kartesischen Koordinaten $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ nicht funktioniert - wie wäre es mit Kugelkoordinaten $\begin{eqnarray*} \varphi,\theta \end{eqnarray*}$ (bei konstantem Radius $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ )?

11.05.2015, 21:56

KugelMugel

Auf diesen Beitrag antworten »

Selbst mit der Kugelparametrisierung, wüsste ich nicht was ich anders machen soll. Die Fläche ist ja die selbe. Sobald ich einen Winkel drin habe, ist die funktion ja nicht mehr konstant,also wenn da sowas steht wie $\begin{eqnarray*} f(\phi, \theta) = \frac{sin(\phi)}{4 \pi} \end{eqnarray*}$ .
Aber die soll konstant sein^^

11.05.2015, 22:04

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von KugelMugel
Sobald ich einen Winkel drin habe, ist die funktion ja nicht mehr konstant,also wenn da sowas steht wie $\begin{eqnarray*} f(\phi, \theta) = \frac{sin(\phi)}{4 \pi} \end{eqnarray*}$ .
Aber die soll konstant sein^^

Da bist du im Irrtum: Diese Dichtefunktion muss nicht konstant sein, damit man eine Gleichverteilung auf der Oberfläche bekommt. unglücklich

$\begin{eqnarray*} f(\phi, \theta) = \frac{\sin(\phi)}{4 \pi} \end{eqnarray*}$ ist richtig, falls $\begin{eqnarray*} \phi\in [0,\pi] \end{eqnarray*}$ den Polarwinkel der Kugelkoordinaten kennzeichnet

11.05.2015, 22:10

KugelMugel

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist in der Angabe was falsch....
Aber vielen Dank^^ bin schon die ganze zeit auf stelle getreten

11.05.2015, 22:15

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von KugelMugel
Dann ist in der Angabe was falsch....

In welcher Angabe?

Mal ganz langsam. Gefordert wird für die Gleichverteilung: Die Wahrscheinlichkeit eines Oberflächenstücks ist proportional zu dessen Flächeninhalt, d.h. parametrieren wir dieses Oberflächenstück über $\begin{align*} G\subseteq [0,\pi]\times (-\pi,\pi] \end{align*}$ , so wird gefordert

$\begin{align*} \iint\limits_G f(\phi,\theta) ~ \dd\phi ~ \dd\theta \stackrel{!}{=} c\cdot \iint\limits_G r^2\sin(\phi) ~ \dd\phi ~ \dd\theta \qquad (*) \end{align*}$ ,

hierbei geht rechts das Oberflächenelement $\begin{align*} \dd A = r^2\sin(\phi) ~ \dd\phi ~ \dd\theta \end{align*}$ in die Berechnung ein. Offenkundig muss für $\begin{align*} G=[0,\pi]\times (-\pi,\pi] \end{align*}$ Gesamtwahrscheinlichkeit 1 herauskommen, was zur Konstante $\begin{align*} c=\frac{1}{4\pi r^2} \end{align*}$ führt.

Da (*) aber für alle messbaren Teilmengen $\begin{align*} G\subseteq [0,\pi]\times (-\pi,\pi] \end{align*}$ gelten muss, bleibt nichts weiter übrig als $\begin{align*} f(\phi,\theta) = \frac{\sin(\phi)}{4\pi} \end{align*}$ f.a.

Neue Frage »

Antworten »

Normalverteilung Kugel

Verwandte Themen