Charakteristik eines Körpers Singularität und projektive Kurve

11.05.2015, 21:13

Shalec

Charakteristik eines Körpers Singularität und projektive Kurve

Hallo allerseits,

ich habe ein Problem mit der Charakteristik eines Körpers. Ich kenne hierzu nur die Definition auf Wikipedia, welche aussagt, dass char(K)=n bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} n\cdot 1=0 \end{eqnarray*}$ für minimales n.

Nun habe ich die Kurve gegeben $\begin{eqnarray*} C:\ F(X:Y:Z)=X^3Z+YZ^3+XY^3=0 \end{eqnarray*}$
Behauptung ist: C singlulär, genau dann, wenn char(K)=7

Ich habe auch schon ein wenig gerechnet für die "=>" Richtung (C singulär => char(K)=7):

Angenommen: $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ , dann
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial F}{\partial x} = 3x^2z+y^3 \overset{!}{=} 0 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} z=\frac{y^3}{-3x^2} \end{eqnarray*}$
Dieses Ergebnis habe ich in $\begin{eqnarray*} \frac{\partial F}{\partial z}=0 \end{eqnarray*}$ eingesetzt und folgende Gleichheit erhalten: $\begin{eqnarray*} x^7 = -\frac{1}{3}y^7 \end{eqnarray*}$
Eingesetzt in $\begin{eqnarray*} \frac{\partial F}{\partial y}=0 \end{eqnarray*}$ erhielt ich so $\begin{eqnarray*} y^2=-3y^2 \end{eqnarray*}$ .
Mein Schluss an dieser Stelle ist: $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$ also folglich $\begin{eqnarray*} x^7=0 \end{eqnarray*}$

(Übrigens erhalte ich analoge Erkenntnisse, wenn ich die anderen Fälle betrachte.)

Ich bin in der Annahme, dass ein Isomorphismus zur $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_7 \end{eqnarray*}$ existiert und daher der Körper die char(K)=7 haben muss. Aber ich empfinde diese Vermutung als sehr schwammig, da ich hierzu keinerlei Grundwissen habe und mir die Zeit fehlt, dieses anzulesen.

Kann mir hier also jemand bei dem letzten Schritt helfen?

Vielen Dank für die Mühe

11.05.2015, 21:49

Captain Kirk

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ , dann
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial F}{\partial x} = 3x^2z+y^3 \overset{!}{=} 0 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} z=\frac{y^3}{-3x^2} \end{eqnarray*}$

damit das definiert ist, brauchst du auch $\begin{eqnarray*} 3 \neq 0 \end{eqnarray*}$ , m.a.W. $\begin{eqnarray*} char(K) \neq 3 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Mein Schluss an dieser Stelle ist: $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$

Der ist falsch, z.B. gilt: $\begin{eqnarray*} 1^2 \equiv-3 \cdot 1^2 \mod 2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ich bin in der Annahme, dass ein Isomorphismus zur $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_7 \end{eqnarray*}$ existiert

Von wo aus?

Zitat:

da ich hierzu keinerlei Grundwissen habe und mir die Zeit fehlt, dieses anzulesen

Dann wirst du wohl mit Schwammigkeit Leben müssen.

12.05.2015, 06:48

Shalec

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Captain Kirk

Zitat:

damit das definiert ist, brauchst du auch $\begin{eqnarray*} 3 \neq 0 \end{eqnarray*}$ , m.a.W. $\begin{eqnarray*} char(K) \neq 3 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Mein Schluss an dieser Stelle ist: $\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$

Der ist falsch, z.B. gilt: $\begin{eqnarray*} 1^2 \equiv-3 \cdot 1^2 \mod 2 \end{eqnarray*}$

Ah.. auf das hatte ich natürlich nicht geachtet. D.h. ich muss hier die Aussage dahinter analysieren oder weitere Forderungen an den Körper stellen. Es wird sicher noch mehr Lösungen in anderen Körpern geben.

Das zeigt mir aber auch, dass mein Lösungsweg noch nicht vollständig ist, wenn hier über jeden beliebigen Körper die Äquivalenz gelten soll.

Zitat:

Original von Captain Kirk

Zitat:

Ich bin in der Annahme, dass ein Isomorphismus zur $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_7 \end{eqnarray*}$ existiert

Von wo aus?

Das Einzige, was für mich Sinn ergab, ist ein Isomorphismus zwischen der Potenz einer Zahl nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_7 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Captain Kirk

Zitat:

da ich hierzu keinerlei Grundwissen habe und mir die Zeit fehlt, dieses anzulesen

Dann wirst du wohl mit Schwammigkeit Leben müssen.

Schade, ich hatte gedacht, dass ich vlt. ein Paar Links zu "Charakteristik eines Körpers und Potenzen oder Multiplikation" bekomme. Im Netz habe ich immer nur die Summationsregel gefunden. Eine Person sprach in seiner Vorlesung von "Potenzen" bzgl. +. Da hatte ich die Idee, dass man die Vorschrift entsprechend in der Multiplikation auf "Potenzen" beziehen kann, sodass eben z.B. $\begin{eqnarray*} x^7 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Aber Deine Anmerkungen haben mir noch ein paar Betrachtungslücken gezeigt.

Vielen Dank und viele Grüße.

12.05.2015, 11:21

Captain Kirk

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Das zeigt mir aber auch, dass mein Lösungsweg noch nicht vollständig ist,

Ich würde sogar so weit gehen zu sagen, dass den Lösungsweg mindestens ein Umweg ist, wenn nicht gar falsch. Die Potenzen erhöhen ist keine sonderlich gute Idee.
Es geht hier darum den Schnitt mehrerer Kurven ( $\begin{eqnarray*} F, \partial_X, \partial_Y,\partial_Z \end{eqnarray*}$ ) zu berechnen, m.a.W. Ideale von Ringen. Daher ist Division keine sinnvolle Rechenoperation, im Gegensatz zu Addition und Multiplikation.

Zitat:

Das Einzige, was für mich Sinn ergab, ist ein Isomorphismus zwischen der Potenz einer Zahl nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_7 \end{eqnarray*}$

Das ergibt keinerlei Sinn.
Wie bitte soll denn die "Potenz einer Zahl", also eine Zahl, isomorph zu einem Körper sein?

Zitat:

Schade, ich hatte gedacht, dass ich vlt. ein Paar Links zu "Charakteristik eines Körpers und Potenzen oder Multiplikation" bekomme

Wieso sollte ich dir Links zu irgendwas schicken, wenn du selber sagst, dass du keine Zeit hast die zu lesen?

12.05.2015, 12:03

Shalec

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Captain Kirk

Zitat:

Das zeigt mir aber auch, dass mein Lösungsweg noch nicht vollständig ist,

Ah. Das ist natürlich auch ein Ansatz dem ich nachgehen werde.

Zitat:

Original von Captain Kirk

Zitat:

Schade, ich hatte gedacht, dass ich vlt. ein Paar Links zu "Charakteristik eines Körpers und Potenzen oder Multiplikation" bekomme

Wieso sollte ich dir Links zu irgendwas schicken, wenn du selber sagst, dass du keine Zeit hast die zu lesen?

Mir fehlt die Zeit, mich sehr tief einzuarbeiten, um alle Feinheiten zu erkennen und dies vollständig verstanden zu haben. Es gibt sicherlich einzelne Vorlesungen, die sich ausschließlich mit der Körpertheorie befassen. Meine eigene Recherche im Netz hatte mir leider keine brauchbaren Hinweise gebracht. Ich würde gerne mehr über die Charakteristik erfahren, wie es sich z.B. auf andere Gruppenstrukturen als der Addition verhält.

12.05.2015, 12:15

Captain Kirk

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Ich würde gerne mehr über die Charakteristik erfahren, wie es sich z.B. auf andere Gruppenstrukturen als der Addition verhält.

Charakteristik ist eine Eigenschaft von Körpern/Ringen, nicht Gruppen.
Daher versteh ich die Frage nicht.

Dein Problem scheint mir nicht des fehlende Verständnis von Feinheiten zu sein, sondern von absoluten Grundlagen:
Charakteristik ist Teil von Algebra I- Vorlesungen.

Und algebraische Geometrie ohne ein gewisses Verständnis von kommutativer Algebra ist relativ aussichtslos.

12.05.2015, 16:11

Shalec

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Captain Kirk
Charakteristik ist Teil von Algebra I- Vorlesungen.

Und algebraische Geometrie ohne ein gewisses Verständnis von kommutativer Algebra ist relativ aussichtslos.

Insofern die Algebra I-Vorlesung mehr als Gruppen behandelt, sicherlich. Dieses Vergnügen hatte ich nicht. Ringe und Körpertheorie kenne ich nur aus meinem eigenen Studium von zu Hause. Da sind mir diese über den Weg gelaufen und ich wollte gerne mehr darüber wissen. Am Rande wurde mal eine Definition über einen Ring eingeführt und die Grundlagen für Körper geschaffen, aber alles was wir in der VL gemacht haben, waren Gruppen.
Eine Algebra II VL ist seit über 5 Jahren nicht mehr angeboten worden. Auch sonst ist der Algebra-Vorlesungsblock recht mau, was Grundlagen angeht. Darüber beschweren sich aber viele an unserer tollen Exzellenzuniversität. Mir ist bereits aufgefallen, dass die Algebrakenntnisse, die im Grundstudium vermittelt werden, mit anderen Universitäten nicht mithalten können. Dafür haben wir einen umfangreicheren Analysisblock.

Das Buch von Karpfinger hat mit seinem Gruppenteil meine Vorlesung vollständig begleitet und darüber hinaus sogar noch mehr Inhalte zu Gruppen geliefert. Irreduzibilität und co. sind mir, wenn ich meinen Wissenserwerb auf die Vorlesungen beschränke, unbekannt. Zur linearen Algebra hatte das Buch von Jänich für die Theorie vollständig gereicht. In der Praxis hatte sich der Kurs auch nur Algorithmen behandelt, um zu dia- oder trigonalisieren, hermitesche Normalformen zu berechnen oder überhaupt mit Matrizen rechnen und Informationen von Matrizen über Abbildungen gewinnen zu können. Da haben die theoretischen Bestandteile der Ringtheorie keine Einfluss in der Vorlesung genommen. Die jetzigen Jahrgänge erwerben nun andere Grundlagen. Die Vorlesungen sind vollständig verändert und besser konzipiert.

Was ich mit "Gruppen" meinte, ist, dass sich der Teil der Definition nur auf die additive Abbildung beschränkt und zur Multiplikation keine Aussagen trifft, laut Wikipedia. Da ich an eine solche Stelle vorgedrungen bin, dass $\begin{eqnarray*} 3x^7=y^7 \end{eqnarray*}$ , dachte ich, dass mir hier Informationen über die Charakteristik fehlen, die mir dann den Schluss zeigen. Also dachte ich, dass man hier Informationen zur Potenzierung finden könnte.

Geometrievorlesungen gibt es bei uns an der Uni nur für Lehramtsstudierende. Algebraische Geometrie findet wenn, dann nur in Form von Topologie statt, worin dann mehr Raumstrukturen analysiert werden. Also eine sehr gute Ergänzung zur Analysis 3&4 Vorlesung bietet. Die algebraische Topologie umfasste das 2. Kapitel des Buches von Allen Hatcher.

Den Begriff "Algebra" lernte ich in Stochastik in Form einer Sigma-Algebra kennen. Nun hatte ich in der vergangenen vorlesungsfreien Zeit zufällig eine Woche frei (d.h. weder Arbeit noch Universitätsveranstaltungen), dort hatte ich mich mit der Darstellungstheorie befasst und Grundlagen zu Ringen und Moduln geschaffen. Ohne diese Woche könnte ich aktuell mit dem Text zur kommutativen Algebra auf Wikipedia nichts anfangen. Nur leider habe ich äußerst selten das Vergnügen überhaupt einen Nachmittag frei zu haben, um mich richtig um Übungen und Vorlesungen zu kümmern. Irgendwie muss das Studium finanziert werden. :-) Den Luxus Sonntags z.B. nicht arbeiten zu müssen, hatte ich seit Beginn meines Studiums noch nicht. Überhaupt habe ich bislang insgesamt in der Zeit ~10 maximal 12 Wochen "frei" gehabt. Zum Teil (ein gesamtes Jahr meines Studiums) hatte ich 8h pro Tag Zeit, in denen ich weder arbeiten musste noch Veranstaltungen in der Uni hatte, das war dann von 22-6 Uhr. Nach einem Jahr eines solchen Pensums fehlte mir dann die Energie weiter zu machen. Nun habe ich noch 1 Jahr vor mir und will das Beste daraus machen und versuchen die Lücken, die durch einen - ich Behaupte das mal so - mangelnden Bildungsplan, da im ersten B.Sc. Jahrgang, entstanden, auszubügeln.

Ich suche mir nun Material, um Schnittpunkte zwischen zweier Kurven berechnen zu können. In der Vorlesung hierzu haben wir nun (De-)Homogenisierungen und Schnitte zwischen Gerade und Kurve kennen gelernt.

Deine Hinweise zum Rechenweg haben mir schon geholfen. Es besteht bei einer Division generell das Problem, dass man durch 0 teilen könnte. Ich hatte schlicht die Körper ausgeblendet, in denen Deine Hinweise zutreffen.

Viele Grüße

Neue Frage »

Antworten »

Charakteristik eines Körpers Singularität und projektive Kurve

Verwandte Themen