Zahlentheorie

12.05.2015, 08:13

HIMYM

Zahlentheorie

Meine Frage:
Hallo miteinander.
Ich habe hier eine Aufgabe bei der ich nicht weiter komme und wäre dankbar für jede Hilfe. smile

Sei $\begin{eqnarray*} q=\frac{2}{15} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .
Bestimmen Sie das kleinste g, so dass die g-adische Darstellung von q endlich ist. Geben Sie die entsprechende Darstellung an.

Meine Ideen:
Ich habe einen Satz in der Vl,der evtl auf die Aufgabe anwendbar ist. Aber ich weiß nicht wie :/.
$\begin{eqnarray*} q=\frac{a}{b} ggT(a,b)=1 a,b \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
Die g-adische Darstellung von q endlich gdw $\begin{eqnarray*} \exists l \in \mathbb N : b | g^l \end{eqnarray*}$

12.05.2015, 08:18

HAL 9000

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Zitat:

Original von HIMYM
Die g-adische Darstellung von q endlich gdw $\begin{eqnarray*} \exists l \in \mathbb N : b | g^l \end{eqnarray*}$

Ja! Mit anderen Worten: Jeder Primfaktor von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ muss in $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ mindestens einmal vorhanden sein. Und wenn $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ minimal sein soll (wie bei dir gefordert), dann heißt es, dass jeder Primfaktor von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ genau einmal enthalten ist.

Es sollte nun nicht so schwer sein, für $\begin{eqnarray*} b=15 \end{eqnarray*}$ das entsprechende $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ zu finden.

12.05.2015, 08:31

HIMYM

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Ok. Ich hatte an g=15 und l=1 zuerst gedacht. Aber ich fand das zu leicht,deswegen bin ich mir unsicher.

12.05.2015, 08:39

HAL 9000

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g=15 stimmt, kleiner geht's nicht.

Es ist ja nicht so wie bei b mit mehrfachen Primfaktoren, wie etwa $\begin{eqnarray*} b=12 = 2^2\cdot 3 \end{eqnarray*}$ : Dort würde auch $\begin{eqnarray*} g=6=2\cdot 3 \end{eqnarray*}$ reichen, dann mit $\begin{eqnarray*} l=2 \end{eqnarray*}$ .

12.05.2015, 11:13

HIMYM

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Ok,danke. Für die 15-adische Darstellung gilt dann:
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{15}=15^{-1}*a_{1} \end{eqnarray*}$ wobei ich $\begin{eqnarray*} a_{1}=2 \end{eqnarray*}$ wähle. Ich bin mir unsicher ob das die gesuchte endliche Darstellung ist.
Dann sollte ich für mein q eine periodische sowie gemischt periodische Darstellung mit Periodenlänge 4 finden.
Dabei muss für die periodische Darstellung die Bedingung für g sein, das es nicht durch 5 und 3 teilbar ist. Ich habe jetzt g=2 gewählt und dann gilt 15 teilt 2^{4}-1. $\begin{eqnarray*} 2^{4}-1=15*1=(0,\vec{1}) _{2} \end{eqnarray*}$ . Da habe ich mich an ein Beispiel aus der Vl orientiert. Aber wenn ich jetzt z.B. g=4 wähle und dann das selbe mache: $\begin{eqnarray*} 4^{4}-1=15*17=(0,\vec{17}) _{4} \end{eqnarray*}$ Und das kann ja nicht stimmen.

Das Bsp der Vl ist folgendes, vll habe ich es ja auch falsch verstanden: g=15 b=7 a=1
$\begin{eqnarray*} 7 | (15^1-1)=>p=1 p= minimale periodenlänge<br /> 1*(15^1-1)=7*2=>\frac{1}{7}=(0,\vec{2} )_{2} \end{eqnarray*}$

Der Vektorpfeil soll für den Periodenstrich dienen.

12.05.2015, 11:15

HIMYM

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$\begin{eqnarray*} 7 | (15^1-1)=>p=1<br /> 1*(15^1-1)=7*2=>\frac{1}{7}=(0,\vec{2} )_{2} \end{eqnarray*}$
mit p=minimale periodenlänge

12.05.2015, 11:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von HIMYM
$\begin{eqnarray*} 15*1=(0,\vec{1}) _{2} \end{eqnarray*}$

Was soll das denn für eine Gleichung sein? So geschrieben ist das grottenfalsch. Tatsächlich kommt am Ende

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{15} = \frac{2}{2^4-1} = \Big[ 0{,}\overline{0010} \Big]_2 \end{eqnarray*}$

heraus. Für gemischt-periodisch könnte man Modul 3 nutzen, denn es ist $\begin{eqnarray*} 5 \mid (3^4-1) \end{eqnarray*}$ .

12.05.2015, 11:47

HIMYM

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Ok im Beispiel muss $\begin{eqnarray*} \frac{1}{7}=(0,\vec{2}) _{15} \end{eqnarray*}$ stehen. Ich verstehe leider nicht wie du auf die 2. Gleichheit kommst. Anhand des Bsp aus der Vl habe ich das so verstanden, dass die Kommazahl der Faktor ist der mit b multpliziert mein $\begin{eqnarray*} g^{p}-1 \end{eqnarray*}$ ergibt.

12.05.2015, 11:55

HAL 9000

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Es ist (geometrische Reihe)

$\begin{align*} \frac{1}{g^l-1} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{g^{kl}} = \Big[ 0{,}\overline{0\ldots 01} \Big]_g \end{align*}$ ,

dabei umfasst die Periode genau $\begin{align*} l \end{align*}$ Stellen, bestehend aus $\begin{align*} (l-1) \end{align*}$ Nullen und einer $\begin{align*} 1 \end{align*}$ am Ende. Entsprechend ist für $\begin{align*} 1\leq a < g^l-1 \end{align*}$ dann

$\begin{align*} \frac{a}{g^l-1} = a\cdot \Big[ 0{,}\overline{0\ldots 01} \Big]_g = \Big[ 0{,}\overline{z_1z_2\ldots z_l} \Big]_g \end{align*}$ ,

wobei $\begin{align*} \Big[z_1z_2\ldots z_l \Big]_g \end{align*}$ die g-adische Darstellung des Zählers $\begin{align*} a \end{align*}$ ist, eventuell mit "führenden Nullen", um auf die geforderte Stellenzahl $\begin{align*} l \end{align*}$ zu kommen. Und es ist nun mal $\begin{align*} 2 = \Big[10 \Big]_2 = \Big[ 0010 \Big]_2 \end{align*}$ .

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