Grenzwert von der Summe cos (45)^i bestimmen

12.05.2015, 12:46

Jefferson1992

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Grenzwert von der Summe cos (45)^i bestimmen

Hallo,

Folgende Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{i \to \infty } \sum\limits_{i=1}^{n}\cos(45°)^{i} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Naja, da ich erstmal keine Idee hatte, wie ich das umforme, habe ich erstmal durch probieren herausgefunden, dass diese Reihe gegen 2,41 zu konvergieren scheint.

Mir ist nur überhaupt nicht klar, wie man darauf kommt.

Ich hatte erst überlegt

$\begin{eqnarray*} \lim_{i \to \infty } \sum\limits_{i=1}^{n}\cos(45°)^{i} \end{eqnarray*}$

umzuschreiben in:

$\begin{eqnarray*} \lim_{i \to \infty } \sum\limits_{i=1}^{n}\frac{\sqrt{2}}{2}^{i} \end{eqnarray*}$

Jetzt ist die Frage, darf ich in einer Summe erweitern? Dann könnte ich die Wurzel im Zähler wegkriegen, hätte zwar dann im Nenner eine, aber vielleicht bring tmich das ja weiter..

Hat jemand eine Idee?

Danke!!

edit: Sorry, Summen vergessen.

12.05.2015, 12:49

IfindU

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RE: Grenzwert von cos (45)^i bestimmen
Alles was dort steht ist ein Grenzwert, der in dieser Form offenbar 0 ist. Was du wohl eigentlich meinst, ist
$\begin{eqnarray*} \lim_{i \to \infty} \sum_{k = 0}^i \cos(45)^k \end{eqnarray*}$ ?

Das ist eine einfache geometrische Reihe. Ansonsten solltest du sagen was du wirklich meinst.

12.05.2015, 13:05

Jefferson1992

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okay. Geometrische Reihe.

Da kann ich das ja umformen zu:

$\begin{eqnarray*} \lim_{i \to \infty } \sum\limits_{i=0}^{n} \frac{1-\cos(45)^{i} }{1-\cos(45)} \end{eqnarray*}$

oder?

12.05.2015, 13:47

IfindU

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Vielleicht. Ohne eine richtige Aufgabenstellung wird das nichts.

12.05.2015, 13:54

Jefferson1992

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Die Aufgabenstellung ist: Gegen was konvergiert die Reihe ...

Also i unendlich groß.

Und da konvergiert diese Folge gegen 2,41. Ich weiß aber nicht, wie man darauf kommt.

12.05.2015, 14:29

HAL 9000

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das Gradsymbol ° darf man nicht einfach weglassen...
Außerdem wird wohl nicht $\begin{align*} \cos(45)\approx 0.525 \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} \cos\left(45^{\circ}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{align*}$ gemeint sein.

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12.05.2015, 14:46

Jefferson1992

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RE: das Gradsymbol ° darf man nicht einfach weglassen...

Zitat:

Original von HAL 9000
Außerdem wird wohl nicht $\begin{align*} \cos(45)\approx 0.525 \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} \cos\left(45^{\circ}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \end{align*}$ gemeint sein.

jop danke, schon berichtigt.

12.05.2015, 15:18

IfindU

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Zitat:

Original von Jefferson1992
$\begin{eqnarray*} \lim_{i \to \infty } \sum\limits_{i=0}^{n} \frac{1-\cos(45)^{i} }{1-\cos(45)} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Jefferson1992
Die Aufgabenstellung ist: Gegen was konvergiert die Reihe ...

Die Reihe in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ konvergiert nicht, schlimmer noch ist $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ undefiniert, aber dafür ist $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ doppelt besetzt. Was du wohl meinst ist
$\begin{eqnarray*} \lim_{i \to \infty} \sum_{k = 0}^i \cos(45^\circ)^k = \lim_{i \to \infty } \frac{1-\cos(45^\circ)^{i+1} }{1-\cos(45^\circ)} \end{eqnarray*}$ .

Bitte pass beim Aufgaben abschreiben etwas mehr auf, weil es einfach desinteressiert aussieht und sich das auch auf mich überträgt, und zum anderen will ich nicht erst eine Aufgabe raten müssen und dann deine hingeklatschten Terme in Kontext setzen müssen.

12.05.2015, 15:21

HAL 9000

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und noch ein mahnender Hinweis
Jefferson sollte auch noch mal deutlich klären, wo die Summe (Reihe) eigentlich beginnt, ob nun bei $\begin{align*} i=0 \end{align*}$ oder $\begin{align*} i=1 \end{align*}$ , denn der Grenzwert hängt sehr wohl davon ab.

12.05.2015, 15:44

Jefferson1992

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Und jetzt hätte ich eine Bitte, kann mir jemand erklären wie ich dann von

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{i=1}^{n}\cos(45°)^{i} \end{eqnarray*}$ auf

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{i=1}^{n}\frac {1-\cos(45°)^{i}}{1-\cos(45°)} \end{eqnarray*}$

Das ist mir noch nicht ganz klar..

12.05.2015, 19:17

Jefferson1992

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Ich habe es mal wieder verkürzt. Sorry für den Doppelpost, aber mir geht es im Prinzip nur um diesen einen Schritt.

Da nimmt man ja die linke Seite mit (1-q) mal, aber ich verstehe einfach nicht, warum man das einfach macht bzw. darf..

12.05.2015, 19:23

HAL 9000

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Die Partialsummenformel einer geometrischen Reihe lautet

$\begin{align*} \sum_{i=0}^n q^i = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{align*}$

bzw. (wenn wir den ersten Summenden $\begin{align*} q^0=1 \end{align*}$ weglassen)

$\begin{align*} \sum_{i=1}^n q^i = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}-1 = q\cdot \frac{1-q^n}{1-q} \end{align*}$ .

Das gilt auch im vorliegenden Fall für $\begin{align*} q = \cos\left( 45^{\circ} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{align*}$ , d.h., das Summensymbol hat hier in deiner Formel

Zitat:

Original von Jefferson1992
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{i=1}^{n}\frac {1-\cos(45°)^{i}}{1-\cos(45°)} \end{eqnarray*}$

nichts mehr zu suchen - und auch sonst sind da noch kleinere Fehler drin. unglücklich

unglücklich

12.05.2015, 19:59

Jefferson1992

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okay, also:

Ich versuche das mal komplett auszuführen:

$\begin{eqnarray*} S_{n}=\sum\limits_{i=0}^{n} \cos(45°)^{i} \end{eqnarray*}$

Da wir in meinem Fall den Fall $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ haben, dann habe ich:

$\begin{eqnarray*} (\cos(45°)-1)*S_{n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} cos(45°)*\sum\limits_{i=0}^{n} \cos(45°)^{i}-\sum\limits_{i=0}^{n} \cos(45°)^{i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{n} \cos(45°)^{i}*cos(45°)-\sum\limits_{i=0}^{n} \cos(45°)^{i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=0}^{n} \cos(45°)^{i+1}-\sum\limits_{i=0}^{n} \cos(45°)^{i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{n+1} \cos(45°)^{i}-\sum\limits_{i=0}^{n} \cos(45°)^{i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cos(45°)^{n+1}-\cos (45°)^{0} \end{eqnarray*}$

und das heißt:

$\begin{eqnarray*} (\cos(45°)-1)*S_{n}=\cos(45°)^{n+1}-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} S_{n}=\frac {\cos(45°)^{n+1}-1}{\cos(45°)-1} \end{eqnarray*}$

Es ist aber genau andersrum, also:

$\begin{eqnarray*} S_{n}=\frac {1-\cos(45°)^{n+1}}{1-\cos(45°)} \end{eqnarray*}$

Wo ist mein Fehler?

12.05.2015, 20:18

HAL 9000

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Mir war nicht bewusst, dass du das Rad (=Partialsummenformel der geometrischen Reihe) unbedingt nochmal neu erfinden willst. Der Fehler im Anfangsindex (i=0 vs. i=1), auf den ich oben nachdrücklich hingewiesen habe, ist trotzdem auch noch drin. unglücklich

unglücklich

Bin wieder weg (CL schauen), IfindU wird ja eh irgendwann wieder zurückkommen. Wink

Wink

12.05.2015, 20:20

Jefferson1992

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Zitat:

Original von HAL 9000
Mir war nicht bewusst, dass du das Rad (=Partialsummenformel der geometrischen Reihe) unbedingt nochmal neu erfinden willst. Der Fehler im Anfangsindex (i=0 vs. i=1), auf den ich oben nachdrücklich hingewiesen habe, ist trotzdem auch noch drin. unglücklich

unglücklich

Bin wieder weg (CL schauen), IfindU wird ja eh irgendwann wieder zurückkommen. Wink

Wink

Habe abgeschickt, statt Vorschau smile

smile

War schon editiert, als du geantwortet hast.

Alles klar, viel Spaß smile

smile

) Und Danke!

12.05.2015, 20:30

IfindU

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Zitat:

Original von HAL 9000
Bin wieder weg (CL schauen), IfindU wird ja eh irgendwann wieder zurückkommen. Wink

Wink

So viel Vertrauen Prost

Prost

Zitat:

Original von Jefferson1992
$\begin{eqnarray*} (\cos(45°)-1)*S_{n}=\cos(45°)^{n+1}-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} S_{n}=\frac {\cos(45°)^{n+1}-1}{\cos(45°)-1} \end{eqnarray*}$

Es ist aber genau andersrum, also:

$\begin{eqnarray*} S_{n}=\frac {1-\cos(45°)^{n+1}}{1-\cos(45°)} \end{eqnarray*}$

Wo ist mein Fehler?

Das sind exakt die gleichen Ausdrücke. Das siehst du z.B. wenn du mit -1 erweiterst.

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