Zufallsvariable, Messbarkeit

12.05.2015, 13:22	klajsdfoi3j	Auf diesen Beitrag antworten »
Zufallsvariable, Messbarkeit Meine Frage: Hallo, ich habe total verplant, dass ich heute Abend eine Testat in Stochastik schreiben muss und brauche dringend Hilfe, weil ich eigentlich garnicht weiß wie ich die Aufgaben anzugehen habe... Hier die Aufgaben: Aufgabe 1: Seien $\begin{eqnarray} (\Omega,\mathcal{A}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (\Omega',\mathcal{A}') \end{eqnarray}$ Messräume und sei $\begin{eqnarray} X : \Omega \to \Omega' \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} \mathcal{G}' \subseteq 2^{\Omega'} \end{eqnarray}$ ein Mengensystem, das die $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ -Algebra $\begin{eqnarray} \mathcal{A}' \end{eqnarray}$ erzeugt, d.h. $\begin{eqnarray} \sigma(\mathcal{G}') = \mathcal{A}' \end{eqnarray}$ . Zeige, dass $\begin{eqnarray} X (\mathcal{A},\mathcal{A}') \end{eqnarray}$ messbar ist wenn gilt: $\begin{eqnarray} \forall\mathcal{A}'\in\mathcal{G}' : X^{-1}[\mathcal{A}'] \in \mathcal{A} \end{eqnarray}$ . Aufgabe 2: Ein fairer, sechseitiger Würfel werde dreimal geworfen. $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ sei die Zufallsvariable, die einem Tripel gewürfelter Augenzahlen das zugehörige schwach monoton steigende Tripel zuordnet (z.B. $\begin{eqnarray} Y(5,2,5) = (2,5,5)) \end{eqnarray}$ . a) Beschreibe Y konkret als Abbildung $\begin{eqnarray} Y : (\Omega,\mathcal{A})\to(\Omega',\mathcal{A}') \end{eqnarray}$ . b) Bestimme die Verteilung von $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ . Aufgabe 3: Chevalier de Méré wunderte sich einmal dem berühmten Mathematiker Blaise Pascal gegenüber, dass er beim Werfen mit 3 Würfeln die Augensumme 11 häufiger beobachtet hatte als die Augensumme 12, obwohl die 11 durch die Kombinationen 6-4-1, 6-3-2, 5-5-1, 5-4-2, 5-3-3, 4-4-3 erzeugt würde und es für die 12 doch genauso viele Kombinationen gäbe. Kann man die Beobachtung des Chevalier de Méré als "vom Zufall bedingt" ansehen oder steckt in seiner Argumentation ein Fehler? Führe zur Lösung des Problems einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum ein, bestimme die Kombinationen für Augensumme 12 und berechne die Wahrscheinlichkeiten für die beiden fraglichen Augensummen. Meine Ideen: Aufgabe 1: Hier habe ich wirklich gar keinen Ansatz. Aufgabe 2: a) $\begin{eqnarray} Y((x_{1}, x_{2}, x_{3})) = (y_{1}, y_{2}, y_{3}) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} x_{1}, x_{2}, x_{3}\in(y_{1}, y_{2}, y_{3})\ \wedge\ y_{1}\leq y_{2}\leq y_{3}) \end{eqnarray}$ Reicht das so? b) Muss ich hier einfach jede Möglichkeite durchgehen und sagen, wie oft die vorkommen kann? Also als Beispiel: (2,5,5) ergibt sich aus (2,5,5), (5,2,5), (5,5,2) => also 3 mal. Da das ja schon einige Möglichkeiten sind, glaube ich nicht, dass das sie sinnvollste Lösung ist. Aufgabe 3: Wahrscheinlichkeitsraum: $\begin{eqnarray} \Omega = \{(x_{1},x_{2},x_{3}) \in [1:6]³\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Sigma_{11} = \{(x_{1},x_{2},x_{3})\ \|\ x_{1}+x_{2}+x_{3} = 11\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Sigma_{12} = \{(x_{1},x_{2},x_{3})\ \|\ x_{1}+x_{2}+x_{3} = 12\} \end{eqnarray}$ Kann man das so machen? Also die Ereignisse für Augensumme 11 und 12 so trennen? Warscheinlichkeiten wären dann: Anzahl der Kombinationen für Augensumme 11 = 6 Anzahl aller möglichen Würde = 6³ = 216 => 6/216 = 1/36 Bei Augensumme 12 wäre die Rechnung ja gleich (oder? ), also war es einfach nur Zufall...?^^
12.05.2015, 18:38	klajsdfoi3j	Auf diesen Beitrag antworten »
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