Einheitengruppe

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Ploki Auf diesen Beitrag antworten »
Einheitengruppe
Meine Frage:

Es sei eine Primzahl.



Gesucht ist die Einheitengruppe dieses Ringes.

Meine Ideen:
Nun, zu bestimmen sind alle invertierbaren Elemente, das heißt jene Elememte der Form , für die ein Element der Form existiert, sodass erfüllt ist.

Umgeformt erhalte ich folgende Bedingung:



Nun komme ich nicht weiter. Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?

lg Ploki
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Gesucht ist die Einheitengruppe dieses Ringes.

Genaugenommen hast du eine Menge hingeschrieben, keinen Ring.

Zitat:
Nun komme ich nicht weiter.
Du kannst o.B.d.A. annehmen, dass die Brüche maximal reduziert sind.
Ploki Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Captain Kirk! Das stimmt natürlich!

Ok, das heißt, dass

muss aber gleichzeitig teilen. Damit das funktioniert, müsste auch ein Produkt von Primzahlen sein, oder? Aber wenn ich von gekürzten Brüchen ausgehe, ist das nicht möglich. Ich habe wohl einen enormen Denkfehler. unglücklich

lg Ploki
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Du vergisst wohl den Fall l=0.
Ploki Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das richtig verstanden habe, dann müsste ich für , und wählen. Damit weiß ich aber nur, dass alle Elemente mit , invertierbar sind. Was ist mit den restlichen?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Was ist mit den restlichen?
Du musst du natürlich auch noch untersuchen. Und das geht mit fast der selben Argumentation.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte einiges vereinfachen bzw. zumindest vereinheitlichen, wenn man gleich von Beginn an die Darstellung



in Betracht zieht.
Ploki Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde keine anderen Einheiten, da die Form haben müsste mit Da aber meine Brüche gekürzt sind, ist das nicht möglich.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist mit m=-1 ?
Ploki Auf diesen Beitrag antworten »

funktioniert natürlich auch. Wähle dazu und .

Ich versuche alles nochmal "sauber" hinzuschreiben.

Es sei eine Primzahl.



o.B.d.A.: Die Brüche sind maximal reduziert.

.

Wir wissen: . Falls , wähle und . Falls , wähle und .

Falls , müsste die Form mit haben. Das ist aber ein Widerspruch zu .

Kann man das so stehen lassen?

Eine Frage steht noch offen: Warum darf ich o.B.d.A. annehmen, dass die Brüche maximal gekürzt sind?

lg Ploki
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist mit k=0? Zur Frage der maximalen Kürzung: Weil man Brüche immer als maximal gekürzt annehmen kann. Die Darstellung von rationalen Zahlen als Brüche sind nur eine Äquivalenzklasse von Zahlenpaaren (Zähler,Nenner), wobei Zähler/Nenner ganze Zahlen sind. Sollen diese kleinstmöglichen Betrag haben, dann liegen sie in der maximal gekürzten Form vor.
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