Bild holomorpher Funktion dicht?

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Hammala Auf diesen Beitrag antworten »
Bild holomorpher Funktion dicht?
Meine Frage:
Hallo,

ich hätte ne Frage und zwar hab ich eine holomorphe Funktion , X ist ein Rieman. Fläche (also einfach eine Mannigfaltigkeit im Wesentlichen). X soll jetzt kompakt sein. Ist jetzt f(X) dicht? und wenn ja, warum?

Meine Ideen:
keine
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild holomorpher Funktion dicht?
Ich weiß nicht wie genau man holomorph auf Mannigfaltigkeiten definiert, aber die Aussage ist falsch sobald . Dort sollte es nicht einmal eine Funktion f geben, die das erfüllt. kompakt, damit ist sofort kompakt und damit beschränkt, und somit sicherlich nicht dicht in .
 
 
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bild holomorpher Funktion dicht?
ok, und wenn mit zu einer meromorphen Funktion auf der kompakten Menge X fortsetzbar ist.
Ist dann f(X') wenigstens dicht?
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann gibt es wohlmögliche solche Funktionen, die das erfüllen. Sicherlich aber nicht jede Funktion, da deine Modifikation die Menge der möglichen Funktionen ja nur erweitert, nicht einschränkt. Die Gegenbeispiele von IfindU sind also immernoch gültig.

(Allerdings hab ich scheinbar ebenso wenig Ahnung von riemannschen Flächen, wie IfindU Augenzwinkern das ist nur als Hinweis zu verstehen. Wenn kompakte Teilmengen von keine kompakten riemannschen Flächen sind, hat sichs erledigt.)
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »

ok, also die komplette aufgabe ist:

X kompakte Riem. Fl. und und nicht konstant und holomorph. Zeige: f(X') ist dicht.
Hinweis: Unterscheide die Fälle, dass sich f zu einer meromorphen Fkt. fortsetzen lässt oder nicht.

Ihr meint jetzt, wenn f sich zu einer meromorphen fkt. fortsetzen lässt, haut das nicht hin?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn erinnert es sehr an den Satz von Weierstraß-Casorati Link zu Wiki.
Im Artikel gibt es sogar den kurzen Beweis.

Allerdings stimmt diese Aussage in der Allgemeinheit eben nicht, man einfach eine holomorphe Funktion auf X nehmen kann und sie auf eingeschränkt wieder holomorph ist.

Also entweder verhalten sich kompakte Riemannsche Flächen seltsam, die Definition von holomorph darauf ist seltsam, oder die Aussage ist immer noch falsch.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Der Satz von Casorati-Weierstraß sagt etwas über das Verhalten von holomorphen Funktionen in der Nähe wesentlicher Singularitäten.
Hammala sprach aber von meromorphen Funktionen, die Polstellen besitzen.
Also dürfte der Satz doch gar nicht anwendbar sein, oder?

Edit: Ok, ich ziehe meinen Einwand zurück. Im Fall, dass nicht zu einer meromorphen Funktion fortsetzbar ist, dann muss eine wesentliche Singularität haben.
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, für Singularitäten und für X in C gilt Weierstraß-C.

Man hat ja die Funktion erst auf X' und setzt sie fort zu einer meromorphen Funktion (ein Fall, der betrachtet wird).
Also wenn f(X') dicht liegt, dann müsste doch auch f(X) dicht liegen in und andersum oder. Und wenn man iwie zeigen kann, dass gilt, wäre man fertig. Und wie hoffen, dass das an der komischen Eigenschaft der Holomorphie liegt. Wenn man zeigen kann, dass f(X) offen ist, wäre man fertig, weil es ist kompakt, also abgeschlossen, nicht leer und zusammenhängen., also schon der gesamt raum
Ungewiss Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Sofern das Bild nicht dicht ist, gibt es und sodass



Dann ist die Funktion auf beschränkt und lässt sich nach Riemanns Removable Singularities eindeutig zu einer holomorphen beschränkten Funktion auf fortsetzen. Damit ist diese Funktion konstant, Widerspruch.

PS: Das ist Aufgabe 2.5 aus Forsters Lectures on Riemann Surfaces, also hab ich mal angenommen, dass ihr den Stoff aus dem Kapitel davor zu Verfügung habt.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Hammala
Wenn man zeigen kann, dass f(X) offen ist, wäre man fertig

Holomorphe Funktionen sind doch aber offene Abbildungen. Und damit bist du auch schon fertig: Kann man meromorph fortsetzen, ist (was übrigens , nicht ist). Ansonsten greift der Satz von Casorati-Weierstraß.

@IfindU:
Zitat:
kompakt, damit ist sofort kompakt und damit beschränkt, und somit sicherlich nicht dicht in .

Die Sphäre selbst ist allerdings auch kompakt.
Hammala Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Che Netzer

Holomorphe Funktionen sind doch aber offene Abbildungen.


Ahso, super danke
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