Lie-Klammer von Lie-Ableitungen von Vektorfeldern [Differentialgeometrie]

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Khaleb Auf diesen Beitrag antworten »
Lie-Klammer von Lie-Ableitungen von Vektorfeldern [Differentialgeometrie]
Meine Frage:
Hallo. Ich würde gerne wissen was die Lie Klammer der Lie Ableitungen 2 er vektorfelder X,Y auf einer differenzierbaren mannigfaltigkeit ist. . Die Lie Ableitungen sind dabei als ableitungen auf tensorfeldern zu verstehen. in einem Buch das ich gerade lese tritt dieses konstrukt unvermittelt auf und wird im gegensatz zur Lie Klammer 2er Vektorfelder nicht erklärt.

Meine Ideen:
Ich denke die Lie Klammer ist in diesem fall nix anderes als der Kommutator, also ?
Jayk Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ich kann mir schon denken, um welches Buch es geht. Big Laugh

Für die Vermutung spricht auf jeden Fall, daß man ja üblicherweise Vektorfelder mit ihren Lie-Ableitungen identifiziert, also z.B. . Und da ja ist...
Khaleb Auf diesen Beitrag antworten »
Hab zu kompliziert gedacht
Ja stimmt Hammer Die sache tritt in kapitel (2.5.11) seite 70 des legendären autors Lesen1 auf wo es darum geht wann vektorfelder einen unterraum des tangentialraumes aufspannen so dass er auch der tangentialraum einer untermannigfaltigkeit ist. Die lie-ableitungen verstehen sich hier nur mehr als lie-ableitungen der skalarfelder und mit identifizierung past hier natürlich genau ins konzept weil eine bedingung für verifiziert werden soll. Danke und einen schönen Feiertag!
Jayk Auf diesen Beitrag antworten »

Na ja, war ja bloß eine Vermutung. Aber hier einen richtigen Beleg: In Rudolph/Schmidt "Differential Geometry and Mathematical Physics" wird auf Seite 110 (Prop. 3.3.3) explizit bewiesen

.

Grund ist, wie angedeutet, daß Vektorfelder 1:1 den Derivationen der assoziativen Algebra der glatten Funktionen entsprechen. Den Kommutator definiert man dann auf Seite 95 allgemein für beliebige Derivationen auf assoziativen Algebren als

.

Dir auch einen schönen Feiertag.
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