Frage zur bedingten Wahrscheinlichkeit |
| 12.05.2015, 23:57 | buenavista62 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Frage zur bedingten Wahrscheinlichkeit Bei einer Frage heute in der Schule war ich etwas verwirrt. Die Frage lautete wie folgt: Für eine bösartige Krankheit gibt es einen Labortest. Hat jemand diese Krankheit, so zeigt dies der Test in 97% aller Fälle an. Bei gesundem irrt der Test in 0.5% aller Fälle. Eine Person ist aufgrund des Testergebnisses gesund. Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft dies tatsächlich zu, wenn 0.1% de Bevölkerung an dieser Krankheit leiden, ohne es zu wissen. Um mich nicht lumpen zu lassen, habe ich die Lehrerin zuerst gefragt, ob wir davon ausgehen können, dass die ganze Bevölkerung den Test durchgeführt hat. Sie bejahte. Später aber als sie uns die Lösung präsentierte, kam ich nicht mehr draus. Sie ging davon aus, dass die 0.1% der Bevölkerung die Gesamtzahl der Kranken darstellt. Ich persönlich aber lese heraus, dass die 0.1% jene sind, welche falsch negativ getestet wurden. Deshalb ging ich folgendermassen vor (wahrscheinlich auch falsch): 0.1% von Bevölkerung = 3% von falsch negativ -> 3.23% sind krank und wissen es = 97% richtig negativ 3.33% der Bevölkerung ist krank = 96.67% gesund 96.67% * 99.5% = 96.18665% richtig negativ. + 0.1% falsch negativ = 96.28665% Ich muss aber ehrlich sagen, dass ich nicht mitgeschrieben habe, als die Lehrerin auf die andere Weise (0.1% Gesamtzahl der Kranken) die Lösung gezeigt hatte. Ich würde es dann so machen: Gesunde Person macht Test und richtig negativ = 0.999 * 0.995 = 0.994005 Kranke Person macht Test und falsch negativ = 0.001 * 0.03 = 0.00003 -> Beide Wahrscheinlichkeiten addieren -> 0.994035 = 99.4035% Zusammenfassend wären meine Fragen: Ist meine Überlegung richtig? Wenn ja, habe ich es richtig gerechnet, oder ist es gar nicht rechenbar (zu wenig Info)? Wenn nein, habe ich den zweiten Teil richtig gerechnet, unter der Annahme, dass 0.1% der Bevölkerung krank ist? Ich bedanke mich vielmals für die Bemühungen im Voraus. Gruss, buenavista |
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| 13.05.2015, 02:16 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Frage zur bedingten Wahrscheinlichkeit
Das kann nicht sein. Die 0.1% entstammen anderen, besseren Test mit hoher Signifikanz und werden eigentlich nicht hinterfragt. Dein Wahrscheinlichkeitsbaum verzweigt zuerst mit 0.999 nach G(esund) und mit 0.001 nach K(rank) Und jetzt kommt der Test mit je 2 Kanten ins Spiel. Deine Rechnung ( Teil 2 ) ist soweit richtig und das Ergebnis ist p(N) (Negativer Test.) . Gesucht ist nun die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass G unter der Bedingung N gilt. ...mit dem Satz von Bayes |
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| 13.05.2015, 03:13 | buenavista62 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Könntest Du mir näher erläutern, warum der Wahrscheinlichkeitsbaum zuerst mit 0.999 bzw. 0.001 verzweigt? Oder interpretiere ich den Text ganz falsch? Bzgl. Satz von Bayes: Die Schlussrechnung hatte ich ganz vergessen, sorry. Das ist aber soweit klar. Was mich immer noch etwas verwirrt ist einfach der Text an sich.^^ |
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| 13.05.2015, 13:46 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn man den Test macht ist man entweder G oder K. Das steht doch schon vorher fest. Deshalb am Anfang. Du kannst aber auch eine Vierfeldtafel aufstellen, und dann statt verwenden, wobei ich ersteres klarer finde. Auch kann ich mir die Rückwärtswkt. besser merken: gewünschter Pfad geteilt durch die Summe aller Pfade zum Endknoten ( totale Wkt. ) Ist etwas lax formuliert. |
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| 13.05.2015, 20:50 | buenavista62 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Test entscheidet doch nicht zu 100% drüber, ob man G oder K ist. Man ist zu mit 99.5 Prozentiger Sicherheit G, oder zu 97 Prozentiger Sicherheit K. Nun heisst es, 0.1% Prozent der Bevölkerung sind K, ohne es zu wissen. K zu sein, ohne es zu wissen heisst, man gehört zu den 3%, welche zwar K sind, aber nicht als K eingestuft werden. Deshalb gehe ich davon aus, dass die 0.1%, welche zwar K sind, es aber nicht wissen, da der Test sie nicht als K eingestuft hat, gleichzusetzen mit den 3% sind. 0.1% Bevölkerung = 3% vom Test bei 97% aber stuft der Test richtig ein, wenn man K ist. -> 0.1 / 3 * 97 = Jene die K sind und es wissen. |
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| 13.05.2015, 21:04 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sorry, das ist so formuliert sehr unglücklich. Es war wahrsheinlichkeitsmässig gemeint. besser:
Nimm das jetzt einfach als Tatsache zur Kenntnis. |
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| 13.05.2015, 21:18 | buenavista62 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn jemand den Test macht, steht es entweder fest, dass er mit 99.5% Wahrscheinlichkeit gesund ist, oder 97% Wahrscheinlichkeit krank ist. Oder? Ich verstehe immer noch nicht, weshalb die 0.1% die Gesamtzahl der Kranken darstellt. Das ist aber wohl mein persönliches Problem.^^ Jedenfalls Danke für deine Bemühungen. |
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| 13.05.2015, 22:02 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ne ne, so einfach aufgeben gilt nicht. 1.) die 0.1 % Wkt für K für irgendjemand aus der Bevölkerung ist wie gesagt eine Tatsache die für die Aufgabe nicht hinterfragt wird. 1.1) ich hatte von 99.5% für G geschrieben, es muss aber 99.9% heißen. Das wäre nicht dramatisch, leider ist die Wkt. für p(N|G) auch 99.5% . Das könnte zu Missverständnissen führen. ---------------------------------------------------------------------------------------- Deshalb nochmals von vorne: das ist die Wkt. dass der Test negativ ist ( totale Wkt) für die Wkt, dass jemand G ist, wenn der Test N ist gilt nach Bayes: d.h. er hat seine Wkt. Gesund zu sein von 0.999 auf 0.99997 erhöht. |
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| 14.05.2015, 00:20 | buenavista62 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich verstehe es also doch.^^ Zu Punkt 1: Da hat mich der letzte Satzteil irritiert ("ohne es zu wissen"). Aber jetzt ist es klar. Zu Punkt 2: Nun geht es auch mit der Logik auf. Dass der Test überhaupt negativ sein kann (unabhängig davon, ob der Getestete K oder G ist) liegt bei 0.994035. Die Person ist gesund und der Test lag richtig: 0.999*0.995 Die Person ist krank und der Test lag falsch: 0.001*0.03 Und jetzt nur noch die Wahrscheinlichkeit P(G) bedingt von N 0.999*0.995/0.994035. Geht doch^^ Vielen Dank! Gruss, buenavista |
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| 14.05.2015, 15:31 | Dopap | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
dann bin ich aber beruhigt 
Nur,
ist eine gefährliche Formulierung. Es besteht schon eine Abhängigkeit von G oder K, beide wurden ja schon berechnet. Der Test ist mit Wahrscheinlichkeit 0.994035 N wenn keine sonstigen Information vorliegen. Das ist das was in der Aufgabe mit "ohne es zu wissen" gemeint war. Schönen Vatertag ! |
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| 14.05.2015, 16:20 | buenavista62 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stimmt, der Zusatz "wenn keine sonstigen Informationen vorliegen" ist hier von Nöten. Andererseits haben wir ja bereits die Wahrscheinlichkeiten für "G macht den Test" und "K macht den Test". Danke Gleichfalls. |
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