Supremum,Maximum/Infimum,Minimum

13.05.2015, 09:16

Kartoffelmann

Auf diesen Beitrag antworten »

Supremum,Maximum/Infimum,Minimum

Morgen!

Ich sitze seid einigen Stunden vor folgender Aufgabe und weiß nicht so ganz, wie ich diese anpacken muss!

Bestimmen Sie das Supremum und das Infimum für die folgenden beschränkten Funktionen $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Untersuchen Sie auch, in welchen Fällen ein Maximum bzw. ein Minimum vorliegt!

a) $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{1+x^{2} } \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x}{1+x^{2} } \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{x^{2} }{1+x^{2} } \end{eqnarray*}$

Meine Idee: Da habe ich ehrlich gesagt keine, weil ich nicht weiß, wie man sowas rechnerisch lösen kann.
Ich weiß nur, dass das Supremum die kleinste obere Schranke und das Infimum die größte untere Schranke ist.

13.05.2015, 11:31

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Berechne die Extremwerte der Funktionen und untersuche das Verhalten für $\begin{eqnarray*} x\to\pm\infty \end{eqnarray*}$ . Daraus kannst du dann Supremum und Infimum bestimmen.

13.05.2015, 12:43

Kartoffelmann

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich probiere es mal aus.

a) für + als auch für - unendlich läuft der Grenzwert gegen 0

b) für + unendlich geht der Grenzwert gegen 0 und für - unendlich auch gegen 0

c) für + als auch - unendlich läuft der Grenzwert gegen 1

Ist das richtig?

13.05.2015, 13:13

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das stimmt. smile

smile

13.05.2015, 14:54

Kartoffelmann

Auf diesen Beitrag antworten »

Super! Nun sagtest du Extremwerte berechnen ( ist leider nicht meine Stärke unglücklich

unglücklich

glaube ich ). Reden wir hier von erster und zweiter Ableitung?
Kannst du mir sagen, was der Grenzwert mir im Bezug auf Supremum/Infimum verrät?

13.05.2015, 15:01

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kartoffelmann
Reden wir hier von erster und zweiter Ableitung?

Nicht unbedingt. Zumindest bei der ersten und dritten Funktion kann man die Extremwerte auch durch "scharfes Hinsehen" herausfinden.

Nehmen wir mal a). Nenner und Zähler sind immer positiv, der Zähler ist konstant. D.h. der Wert des Bruchs wird maximal, wenn der Nenner minimal ist (und umgekehrt). Nimmt der Nenner ein Maximum oder Minimum an?

Zitat:

Original von Kartoffelmann
Kannst du mir sagen, was der Grenzwert mir im Bezug auf Supremum/Infimum verrät?

Das machen wir danach, erstmal die Extremwerte. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Anzeige

13.05.2015, 15:06

Kartoffelmann

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, gibt es auch eine Alternative zum "scharfen Hinsehen"? verwirrt

verwirrt

Einen rechnerischen Weg?

Aber ich würde sagen, dass der Nenner ein Maximum annimmt. Aber ich bin mir nicht ganu sicher wieso.

13.05.2015, 15:09

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kartoffelmann
Gut, gibt es auch eine Alternative zum "scharfen Hinsehen"?

Ja, wie du schon vorgeschlagen hast: Erste Ableitung nullsetzen.

Zitat:

Original von Kartoffelmann
Aber ich würde sagen, dass der Nenner ein Maximum annimmt. Aber ich bin mir nicht ganu sicher wieso.

Nein; der Nenner beschreibt eine nach oben geöffnete Parabel, kann also kein Maximum annehmen.

13.05.2015, 15:13

Kartoffelmann

Auf diesen Beitrag antworten »

In Ordnung. Ich werde dann erstmal jeweils die ersten Ableitungen der Funktionen bestimmen smile

smile

Ich vermute, dass dann nach x aufgelöst werden muss, sobald die Ableitungen gleich Null gesetzt wurden?

13.05.2015, 15:18

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

13.05.2015, 15:31

Kartoffelmann

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier die Ableitungen:

a)

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{\left(1+x^{2} \right)-2x }{\left(1+x^{2} \right)² } \end{eqnarray*}$

b)

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{\left(1+x^{2} \right)-2x }{\left(1+x^{2} \right)² } \end{eqnarray*}$

c)

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{2x\cdot \left(1+x²\right)-\left(2x\cdot x²\right) }{\left(1+x^{2} \right)² } \end{eqnarray*}$

???

13.05.2015, 15:34

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei a) stimmt der Zähler nicht, der Rest ist richtig.

13.05.2015, 15:49

Kartoffelmann

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, die Ableitung von 1 ist ja 0...

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{-2x}{\left(1+x²\right)² } \end{eqnarray*}$

13.05.2015, 15:50

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Das sieht schon besser aus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

13.05.2015, 16:00

Kartoffelmann

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich bei der a) ein wenig rechne, erhalte ich

0= x^4+2x²-2x+1

wie gehe ich am besten weiter vor? Substitution? Ausklammern?

13.05.2015, 16:09

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie bist du darauf gekommen?
Ein Bruch ist 0, wenn der Zähler 0 und der Nenner ungleich 0 ist.

13.05.2015, 16:12

Kartoffelmann

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, ich sollte doch nach x auflösen,oder? Ich habe zuerst +2x gerechnet und

2x= (1+x²)² erhalten. Dann diese Klammer mit Hilfe der binomischen Formel zerlegt und die 2x wieder zurückgeholt!?

13.05.2015, 16:16

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kartoffelmann
Ich habe zuerst +2x gerechnet und 2x= (1+x²)² erhalten.

Dann müsstest du mir mal zeigen, wie das gehen soll. verwirrt

verwirrt

Wenn ich bei der Gleichung $\begin{eqnarray*} 0=\frac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2 } \end{eqnarray*}$ auf beiden Seiten 2x addiere, dann erhalte ich $\begin{eqnarray*} 2x=2x+\frac{-2x}{\left(1+x^2\right)^2 } \end{eqnarray*}$ .
Und das ist bestimmt nicht das selbe wie deine Gleichung.

13.05.2015, 16:20

Kartoffelmann

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja...also....ich hatte wohl ein Brett vorm Kopf...entschuldige bitte Hammer

Hammer

Hammer

Hammer

Kann ich den Bruch überhaupt sinnvoll auflösen? Beide Seiten mit dem Nenner multiplizieren?

13.05.2015, 16:21

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das wäre eine Möglichkeit.

13.05.2015, 16:27

Kartoffelmann

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, nachdem ich beide Seiten mit dem Nenner multipliziert habe erhalte ich:

-2x= (1+²)²

-2x= 1+2x²+x^4

0=x^4+2x²+2x+1

13.05.2015, 16:30

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei dir ist also $\begin{eqnarray*} 0\cdot (1+x^2)^2=(1+x^2)^2 \end{eqnarray*}$ ? geschockt

geschockt

13.05.2015, 16:34

Kartoffelmann

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein,natürlich nicht. Das ist selbstverständlich 0 und daraus folgt:

0=-2x und daher muss x gleich 0 sein.

13.05.2015, 16:37

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.
Und jetzt musst du noch überprüfen, ob bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ein Maximum, Minimum oder gar nichts von beiden vorliegt.

13.05.2015, 16:40

Kartoffelmann

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie genau ging das? Einfach in die Ursprungsgleichung einsetzen?

13.05.2015, 16:42

Kartoffelmann

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe aktuell nicht mehr alle Sinne beisammen. Ich muss mir natürlich angucken, ob die 2 Ableitung größer oder kleiner 0 ist. Ist es für dich in Ordnung, wenn ich etwas Pause mache und mich später nochmal melde? Ich brauche erstmal eine Pause fürchte ich.

13.05.2015, 16:44

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, klar. Ich wollte sowieso gerade schreiben, dass ich jetzt auch weg muss. Melde dich einfach wieder, wenn du weitermachen möchtest. smile

smile

13.05.2015, 21:59

Kartoffelmann

Auf diesen Beitrag antworten »

So, da bin ich wieder.

Ich habe jetzt die zweite Ableitung der a) gebildet. Allerdings bin ich mir arg unsicher.

$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{-2\cdot \left(1+x²\right)²-2\cdot \left(1+x²\right)²\cdot 2x\cdot \left(-2x\right) }{\left(\left(1+x^{2} \right)² \right)² } \end{eqnarray*}$

Was ich gemacht habe:

Ich habe die erste Ableitung mit Hilfe der Quotientenregel abgeleitet und beim Nenner auch noch auf die Kettenregel zurückgegriffen.

Nun habe ich die Nullstelle der ersten Ableitung in die zweite Ableitung eingesetzt und erhalte -2.
Da -2<0 ist liegt ein Hochpunkt vor. Nun habe ich die -2 in die Ausgangsgleichung eingesetzt und erhalte als y-Koordinate 1/5. Der Hochpunkt liegt demnach, sofern ich alles richtig gemacht habe bei (-2/ 0,2)

verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

13.05.2015, 23:04

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kartoffelmann
$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{-2\cdot \left(1+x^2\right)^2-2\cdot \left(1+x^2\right)^{\textcolor{red}{2}}\cdot 2x\cdot \left(-2x\right) }{\left(\left(1+x^{2} \right)^2 \right)^2 } \end{eqnarray*}$

Das Quadrat gehört da nicht hin. $\begin{eqnarray*} f''(0)=-2 \end{eqnarray*}$ ist trotzdem richtig.
Um die y-Koordinate des Extrempunktes zu berechnen, musst du aber die x-Koordinate in die Funktionsgleichung einsetzen; und das war 0, nicht -2: $\begin{eqnarray*} f(0)=1 \end{eqnarray*}$ . Der Hochpunkt liegt also bei $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ .

Du kennst jetzt also den Extrempunkt der Funktion und weißt, wie sie sich im Unendlichen verhält. Weißt du, wie du damit auf Supremum und Infimum der Funktion kommst?

13.05.2015, 23:08

Kartoffelmann

Auf diesen Beitrag antworten »

Ne,leider nicht. Aber immerhin haben wir bereits ein Maximum gefunden und können doch auch ausschließen, dass es ein Minimum gibt,oder?

13.05.2015, 23:24

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das können wir ausschließen (weil es keine weiteren Nullstellen der ersten Ableitung gibt).

Die Funktion muss also durch den Punkt $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ verlaufen, zu beiden Seiten der y-Achse abfallen, und sich im Unendlichen an die x-Achse annähern. So sieht die Funktion aus:

Was sind also Infimum und Supremum?

13.05.2015, 23:29

Kartoffelmann

Auf diesen Beitrag antworten »

In dem Fall ist Supremum= Maximum bei (0,1) und da die Funktion beschränkt ist, gibt es auch ein Infimum und das müsste 0 sein. Ein Minimum hingegen gibts nicht.
Ich werde das morgen mal mit den anderen beiden Aufgaben genauso machen. smile

smile

13.05.2015, 23:30

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.
Dann bis morgen. smile

smile

14.05.2015, 10:31

Kartoffelmann

Auf diesen Beitrag antworten »

Morgen!

Für die b) habe ich ein Supremum und ein Maximum bei (1, 0,5) und ein Infimum bei 0.

Ich habe noch eine Frage zur Notation. Schreibt man das Supremum als auch das Infimum als "Punkt" auf ? Oder wie genau ist die richtige Schreibweise?

14.05.2015, 10:55

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Infimum stimmt leider nicht.

Aufschreiben würde man das z.B. so: $\begin{eqnarray*} \sup_{x\in\mathbb{R}} \frac{x}{1+x^2}=\max_{x\in\mathbb{R}} \frac{x}{1+x^2}=0.5 \end{eqnarray*}$ . Das Supremum ist also kein Punkt, sondern eine reelle Zahl.

14.05.2015, 12:40

Kartoffelmann

Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ich habe aber nur eine Nullstelle für die erste Ableitung bekommen. Sollte ich mir die nochmal vornehmen?

14.05.2015, 12:42

Kartoffelmann

Auf diesen Beitrag antworten »

Habe ich das richtig verstanden, dass dann das Maximum und das Minimum auch einfach als reellle Zahl und nicht als Punkt angegeben werden?

PS:ich sollte mich mal registrieren, dann kann ich auch editieren...

14.05.2015, 13:13

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kartoffelmann
Hm, ich habe aber nur eine Nullstelle für die erste Ableitung bekommen. Sollte ich mir die nochmal vornehmen?

Ja, da musst du nochmal rechnen.

Das Minimum/Maximum ist auch eine reelle Zahl

14.05.2015, 13:53

Kartoffelmann

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde meinen Fehler nicht.

die erste Ableitung der Aufgabe b)

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{\left(1+x^{2} \right)-2x }{\left(1+x^{2} \right)² } \end{eqnarray*}$

Dann habe ich die Ableitung gleich Null gesetzt und mit dem Nenner multipliziert und erhalte dann:

$\begin{eqnarray*} 0=x²-2x+1 \end{eqnarray*}$

Dann habe ich die pq-Formel angewendet und erhalte:

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=1\pm \sqrt{1-1} \end{eqnarray*}$

Wo habe ich den Fehler eingebaut?

14.05.2015, 14:03

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kartoffelmann (korrigiert)
die erste Ableitung der Aufgabe b)

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \frac{\left(1+x^{2} \right)-2x^{\textcolor{red}{2}} }{\left(1+x^{2} \right)^2 } \end{eqnarray*}$

12 nächste Seite »

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »