Funktion mit Gaußklammer, Monotonie

13.05.2015, 12:54

Aligator3

Funktion mit Gaußklammer, Monotonie

Meine Frage:
Hallo zusammen, ich soll beweisen, dass die folgende Funktion monoton steigend ist:
$\begin{eqnarray*} f(n)=\left[n^2/1\right] - \left[n^2/p_1\right]-...- \left[n^2/p_r\right] + \left[n^2/\left(p_1*p_2\right)\right]+ \left[n^2/\left(p_1*p_3\right)\right] +...+ \left[n^2/\left(p_{r-1}*p_r\right)\right] - \left[n^2/\left(p_1*p_2*p_3\right)\right]-...- \left[n^2/\left(p_{r-2}*p_{r-1}*p_r\right)\right] +... -... ... +[n^2/\prod\limits_{p\in A}^{} p] A=\left\{p|p \in Prim \wedge p \leq n \right\} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
Wie mache ich das, ich habe große Probleme damit die Gaußklammern nützlich aufzulösen. Eine Umwandlung in eine Form mit Modulo ist zwar möglich. Bringt mich aber auch nicht besonders weiter. Hat jemand von euch ein paar Lösungsansätze. Ich komme da wirklich nicht weiter. Ich hoffe ich habe die Funktion verständlich beschrieben. Vielen Dank für eure Hilfe :-)

Meine Ideen:
Ich habe als eine Möglichkeit zur Lösungsfindung alle Gaussklammern in modulo schreibweise gebracht, aber da komme ich auch nicht besonders weiter

13.05.2015, 13:45

Captain Kirk

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Hallo,

die Funktion ist so praktisch nicht lesbar, ich würde vermuten du meinst
$\begin{eqnarray*} f(n)=\sum_{I\subset A(n)} (-1)^{|I|} \left[ \frac{n^2}{\prod_{i \in I}p_i } \right] \end{eqnarray*}$
Ist A(n-1)=A(n) so ist offensichtlich $\begin{eqnarray*} f(n-1) \leq f(n) \end{eqnarray*}$ , d.h. es ist nur der Fall $\begin{eqnarray*} A(n-1)=A \cup \{n\} =A(n) \end{eqnarray*}$ zu betrachten.
Das vereinfacht das Problem. In wie fern die Lösung dann schön hinzuschreiben wäre, ist mir aber auch noch nicht klar.

13.05.2015, 18:33

HAL 9000

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Ich nehme mal an, die eckigen Klammern sollen Gaußklammern sein.

Man kann sich vielleicht mal dieser Zahl $\begin{align*} f(n) \end{align*}$ von der inhaltlichen Seite nähern: Da unschwer eine Siebformelstruktur zu erkennen ist, kann man $\begin{align*} f(n) \end{align*}$ als die Anzahl aller Zahlen aus $\begin{align*} [1,n^2] \end{align*}$ deuten, die durch keine der Zahlen aus $\begin{align*} A(n) \end{align*}$ teilbar ist.

Sprich: Es ist die Anzahl der Primzahlen im Intervall $\begin{align*} [n+1,n^2] \end{align*}$ zuzüglich der 1, also $\begin{align*} f(n) = |A(n^2)|-|A(n)|+1 \end{align*}$ . Augenzwinkern

Wie Captain Kirk schon anderweitig erkannte, ist nur der Fall $\begin{align*} n=p \end{align*}$ (d.h. prim) kritisch:

Man müsste dann nachweisen, dass es im Intervall $\begin{align*} [(p-1)^2+1,p^2] \end{align*}$ mindestens eine Primzahl gibt - wie das geht (bzw. ob es überhaupt stimmt), weiß ich auch nicht. Jedenfalls ist es deutlich härter als etwa das Bertrandsche Postulat. verwirrt

14.05.2015, 02:26

Aligator3

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Ja bei den Klammern handelt es sich um Gaußklammern. Für den Fall, dass wenn A(n) = A(n-1) gilt, dass die Monotonie der Funktion offensichtlich ist, sehe ich nicht so wirklich, könnt ihr mir das bitte noch ein wenig näher erklären. Vielen Dank für die schnelle Hilfe, ihr seid die Besten smile

14.05.2015, 02:43

Aligator3

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Ich glaube es würde für den Fall $\begin{eqnarray*} n \in Prim \end{eqnarray*}$ auch reichen, dass man zeigen könnte, dass $\begin{eqnarray*} f(n) \end{eqnarray*}$ nicht kleiner ist als $\begin{eqnarray*} f(n-1) \end{eqnarray*}$ . Also, dass die beiden Funtionswerte mindestens gleich sind. Und es ist doch unmöglich, dass $\begin{eqnarray*} f(n) \end{eqnarray*}$ kleiner ist als $\begin{eqnarray*} f(n-1) \end{eqnarray*}$ , oder?

15.05.2015, 10:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von Aligator3
Und es ist doch unmöglich, dass $\begin{eqnarray*} f(n) \end{eqnarray*}$ kleiner ist als $\begin{eqnarray*} f(n-1) \end{eqnarray*}$ , oder?

Suggestivfragen bringen nichts, es ist exakt nachzuweisen. Und dazu haben sowohl Captain Kirk als auch ich einiges ausgeführt - wäre nett, wenn du dich wenigstens auf den Stand bringen würdest, anstatt wieder so loszufragen, als wäre bisher im Thread nichts geschehen. unglücklich

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