Sigma Algebra aller eta-messbaren Mengen bestimmen

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Lalala1234 Auf diesen Beitrag antworten »
Sigma Algebra aller eta-messbaren Mengen bestimmen
Meine Frage:
Hallo,
ich habe folgende Aufgabenstellung:

Es sei und eine -Algebra über . Weiter sei ein Maß auf mit und . Dann definiert

das zugehörige äußere Maß. Geben Sie explizit an und bestimmen Sie die
-Algebra aller -messbaren Mengen.

Meine Ideen:
So jetzt habe ich mir überlegt, dass so die explizite Darstellung von sein müsste:

1. , für , da ein Maß ist und somit und

2. , für ,da oder und somit für minimal.

3. , für B erfüllt nicht 2. und

Und jetzt wollte ich die -messbaren Mengen bestimmen. Dazu hatten wir volgende Definition in der Vorlesung: ist -messbar, falls

So jetzt weis ich, dass -messbar sind und denke, dass auch -messbar sind, da ich für diese 2 Mengen keine Gegenbeispiele gefunden habe. Für die restlichen Teilmengen habe ich ein Q gefunden, s.d. die Defintion von oben nicht erfüllt wurde.
Daraus würde ich dann folgern, dass gleich der sigma-Algebra aller -messbaren Mengen ist.

Da das ganze aber bei mir eine riesen Schlacht von Fallunterscheidungen ist, bin ich mir nicht sicher, ob es nicht doch noch irgendeine Meinge gibt, die -messbar ist und wäre über jede Antwort sehr glücklich! smile

Danke und liebe Grüße!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, die Menge der -messbaren Mengen stimmt mit überein.

1) Dass alle Mengen aus dazugehören, ist stets so bei dieser Konstruktion des äußeren Maßes.

2) Und so uferlos ist der Nachweis doch gar nicht, dass keine weiteren Mengen dazugehören:

Für jede andere Menge gilt nämlich und für oder (d.h. für mindestens eine dieser beiden Mengen).

Für dieses ist dann aber , und somit ist dieses nicht -messbar
Lalala1234 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antwort und der Beweis ist deutlich kürzer, als meiner Big Laugh
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