Unterräume, Basis bestimmen

13.05.2015, 21:14

Tangens Hyperbolicus

Unterräume, Basis bestimmen

Guten Abend. Wink

Die folgenden Aufgaben sind aus der Höheren Mathematik II. Die erste Aufgabe habe ich bereits gelöst und bin zuversichtlich, dass sie inhaltlich und formell weitestgehend korrekt ist.

1.) Gegeben sind die drei Vektoren $\begin{eqnarray*} a_{1}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_{2}=\begin{pmatrix} 2i \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_{3}=\begin{pmatrix} 0 \\ -1+2i \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ -Vektorraumes $\begin{eqnarray*} \mathbb C^{3} \end{eqnarray*}$ .
Stellen Sie $\begin{eqnarray*} a_{3} \end{eqnarray*}$ als Linearkombination von $\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{2} \end{eqnarray*}$ dar und beurteilen Sie die lineare Abhängigkeit oder Unabhängigkeit der 3 Vektoren.

Der Schreibarbeit wegen lasse ich mal ein paar Schritte aus.

Die Aufgabe führt zu folgendem Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} \lambda_{1}+2\lambda_{2}i=0 \lambda_{1}+\lambda_{2}=-1+2i \lambda_{2}=-1 \end{eqnarray*}$

Ziemlich leicht lösbar ist nun: $\begin{eqnarray*} \lambda_{2}=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_{1}=2i \end{eqnarray*}$

Die Linearkombination von $\begin{eqnarray*} a_{3} \end{eqnarray*}$ ist also $\begin{eqnarray*} a_{3}=2i\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2i \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zur Überprüfung der linearen Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{3} \end{eqnarray*}$ ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} (1)a_{1}+(2i)a_{2}+(0)a_{3}=0 (1)a_{1}+(1)a_{2}+(-1+2i)a_{3}=0 (0)a_{1}+(1)a_{2}+(-1)a_{3}=0 \end{eqnarray*}$

Die volle Rechnung lasse ich wieder aus:

$\begin{eqnarray*} (1)a_{1}+(1)a_{2}+(-1+2i)a_{3}=0 (0)a_{1}+(1)a_{2}+(-1)a_{3}=0 (0)a_{1}+(0)a_{2}+(0)a_{3}=0 \end{eqnarray*}$

Aus der Existenz eines freien Index kann man schließen, dass es keine eindeutige Lösung gibt. Demnach sind $\begin{eqnarray*} a_{1} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a_{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{3} \end{eqnarray*}$ linear abhängig.

2.) Welche der folgenden Mengen sind Unterräume des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ ? Bestimmen Sie gegebenenfalls eine Basis.

a) $\begin{eqnarray*} U_{1}= \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} {x\in\mathbb R^{3}:x_{3}=x_{1}+3x_{2}} \end{eqnarray*}$ }

b) $\begin{eqnarray*} U_{2}= \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} {x\in\mathbb R^{3}:x_{1}=x_{2}^{3}} \end{eqnarray*}$ }

Mit der zweiten Aufgabe komme ich leider gar nicht zurecht. Ich komme mit dem ganzen Unterräume-, Basen- usw. -gedöns noch nicht zurecht. Wäre vielleicht auch schon hilfreich, wenn ihr mir gute (Online-)Literatur empfehlen könntet oder mir mit anfangs einfacheren Aufgaben zum Erfolg verhelfen könntet. Wegen Christi Himmelfahrt fällt die Matheveranstaltung, in der dieses Thema vertieft worden wäre, leider aus. Finger2

Bei Kommilitonen habe ich schon Lösungen für a) gesehen, die wie folgt aussahen. Zwischenschritte und damit Verständnis meinerseits fehlen aber leider.

$\begin{eqnarray*} U_{1}= \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} {x\in\mathbb R^{3}:x_{3}=x_{1}+3x_{2}} \end{eqnarray*}$ }

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow U= \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \\ a+3b \end{pmatrix}=a\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+b\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} a,b\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ }

Ich wäre für jede Hilfe - vor allem bezüglich Aufgaben 2 a) und 2 b) sehr dankbar. Hilfe in Form von Anweisungen werde ich genauso dankend entgegennehmen, wie Hilfe in Form von Heranführung an das Thema mithilfe von Aufgaben oder lehrenden Internetseiten.

Mit freundlichem Gruß,

Tangens Hyperbolicus

14.05.2015, 00:29

Helferlein

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Zu 1) Warum prüfst Du die Unabhängigkeit, wenn Du doch schon eine Linearkombination gefunden hast? Offensichtlich ist $\begin{eqnarray*} -2i\cdot a_1+a_2+a_3=0 \end{eqnarray*}$ eine nicht-triviale Darstellung des Nullvektors.

Zu 2) Hier geht es wohl eher um das Prüfen oder Widerlegen der drei Unterraumkriterien.

14.05.2015, 00:38

wopi

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RE: Unterräume, Basis bestimmen
Wenn du die 'Vektorrechnung' aus der Schule kennst, hilft dir vielleicht folgendes weiter:

Eine Teilmenge des IR3 ist genau dann ein echter Unterraum, wenn die zugehörigen Punkte im dreidimensinalen Anschauungsraum in einer Ebene durch den Ursprung (zweidimensionaler Unterraum)
oder sogar auf einer Geraden durch den Ursprung (eindimensionaler Unterraum) liegen.

Basisvektoren sind dann zwei nicht parallele Richtungsvektoren der Ebene bzw. ein Richtungsvektor der Geraden.

14.05.2015, 01:14

wopi

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RE: Unterräume, Basis bestimmen
die genannten Teilmengen enthalten dann nämlich den Nullvektor und zu je zwei Elementen a und b der jeweiligen Teilmenge die Summe a+b und alle Vielfachen von a (bzw. b)

14.05.2015, 16:16

Tangens Hyperbolicus

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Guten Tag.

Danke erst mal für die fixen Antworten.

Zitat:

die genannten Teilmengen enthalten dann nämlich den Nullvektor und zu je zwei Elementen a und b der jeweiligen Teilmenge die Summe a+b und alle Vielfachen von a (bzw. b)

Hieße das, dass ich vorerst überprüfen sollte, ob die mit $\begin{eqnarray*} {x\in\mathbb R^{3}:x_{3}=x_{1}+3x_{2}} \end{eqnarray*}$ beschriebene Ebene überhaupt den Ursprung/Nullvektor beinhaltet?

Mein Problem ist, dass ich zwar prinzipiell verstehe, was ein Unterraum ist und welche Bedingungen er erfüllen muss, dass ich jedoch nicht weiß, wie ich damit rechnen kann.

14.05.2015, 17:52

Helferlein

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Wenn Du die drei Kriterien kennst, wirst Du auch wissen, dass nach dem ersten Kriterium die Menge nicht leer sein darf. Da der Nullvektor aber in jedem Vektorraum enthalten sein muss, liegt es nahe zu überprüfen, ob er überhaupt in der betrachteten Menge liegt.

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