Partiell diff. Funktionen durch part. Ableitung finden

13.05.2015, 21:22

LemanRuss

Partiell diff. Funktionen durch part. Ableitung finden

Hi,

a) Warum gibt es keine Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R ^{2}-> \mathbb R \end{eqnarray*}$ der Klasse $\begin{eqnarray*} C^{2} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} (x, y) = x^{3} +x^{2} y^{2} +1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy} (x, y) = x^{3} +xy^{2} +2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall (x, y) \in \mathbb R ^{2} \end{eqnarray*}$ ?

b) Warum gibt es keine partiell differenzierbare Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R ^{2}-> \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit der Eigenschaft aus a) ?

c) Finden Sie alle partiell differenzierbaren Funktionen $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R ^{2}-> \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} (x, y) = x^{2} +xy +1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy} (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} +y^{3} +1\forall (x, y) \in \mathbb R ^{2} \end{eqnarray*}$

Also meine Idee wäre es einfach zu integrieren. Aber partielle Integration hatten wir in der Vorlesung nicht. Ich musste jetzt erstmal googlen, ob es "partielle Integration" überhaupt gibt. Wäre für Tipps dankbar Wink

Btw: Sind Aufgabe a) und b) nicht dieselbe Frage?

14.05.2015, 15:54

LemanRuss

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Bräuchte immernoch Hilfe smile

14.05.2015, 16:51

Huggy

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RE: Partiell diff. Funktionen durch part. Ableitung finden

Zitat:

Original von LemanRuss
Also meine Idee wäre es einfach zu integrieren. Aber partielle Integration hatten wir in der Vorlesung nicht. Ich musste jetzt erstmal googlen, ob es "partielle Integration" überhaupt gibt.

Partielle Integration gibt es schon und das habt ihr sicher schon gehabt. Das ist aber etwas anderes als das, was du meinst. Du meinst das unbestimmte Integral bezüglich einer Variablen. Das kannst du nach den üblichen Integrationsregeln bilden. Dabei wird die andere Variable wie eine Konstante behandelt. Beachten musst du lediglich, das die bei der unbestimmten Integration bezüglich einer Variablen auftretende Integrationskonstante eine Funktion der anderen Variablen sein kann.

Zitat:

Btw: Sind Aufgabe a) und b) nicht dieselbe Frage?

Nicht ganz. Bei b) wird ja nicht gefordert, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ der Klasse $\begin{eqnarray*} C^2 \end{eqnarray*}$ angehört!

Bei a) solltest du dich an einen Satz über die gemischten 2. Ableitungen erinnern, der gilt wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ der Klasse $\begin{eqnarray*} C^2 \end{eqnarray*}$ angehört.

b) lässt sich auf a) zurückführen, da man aus den ersten partiellen Ableitungen sieht, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ der Klasse $\begin{eqnarray*} C^2 \end{eqnarray*}$ angehört, obwohl das zunächst nicht gefordert war.

Alternativ kannst du deine Idee der unbestimmten Integration bezüglich der beiden Variablen benutzen. Damit wird auch c) gelöst.

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